Varietà lineare
Ciao a tutti 
nel corso di Algebra Lineare, il professore ha accennato in un paio di casi alle varietà lineari, dandone prima una definizione e poi, nello svolgersi delle lezioni, ne ha fatto qualche esempio man mano che sviluppavamo la teoria.
Questa è la definizione iniziale che ci ha dato:
'' Per un qualunque sottospazio $ U sube R^n $, indichiamo con $ v + U : { v+u | u in U} $ la varietà lineare, dove $ U $ è definito lo SPAZIO DIRETTORE "
e subito dopo ci ha dato una proposizione che asserisce questo:
" Dato $ v in V , U sub V $, i seguenti fatti sono equivalenti:
1) $ v+U sube R^n $
2) $ 0_(R^n) in v + U $
3) $ (v + U ) cap U neq emptyset $
4) $ v in U $
5) $ v+U = U $ . "
Purtroppo non riesco ad inquadrare bene questo concetto. Mi sembra di aver capito che, geometricamente parlando, una varietà lineare la posso visualizzare come un sottospazio che viene traslato tramite il vettore a cui viene sommato. Fin qui nulla di difficoltoso mi sembra, però con questa immagine nella mente non riesco a comprendere alcune delle asserzioni che vengono proposte nella proposizione poco sopra, in particolare come fanno a dimostrare 2)--->3) , 3)--->4), 4)--->5) .
Un secondo problema che mi sovviene poi, è capire quando una varietà lineare è un sottospazio.
In sostanza non ho capito molto cosa mi debbano rappresentare, anche perchè il professore non ha approfondito l'argomento e si è limitato a fare superficiali considerazioni che non ho molto capito.
Se poteste farmi una mano,vi sarei grato
Grazie mille
nel corso di Algebra Lineare, il professore ha accennato in un paio di casi alle varietà lineari, dandone prima una definizione e poi, nello svolgersi delle lezioni, ne ha fatto qualche esempio man mano che sviluppavamo la teoria.
Questa è la definizione iniziale che ci ha dato:
'' Per un qualunque sottospazio $ U sube R^n $, indichiamo con $ v + U : { v+u | u in U} $ la varietà lineare, dove $ U $ è definito lo SPAZIO DIRETTORE "
e subito dopo ci ha dato una proposizione che asserisce questo:
" Dato $ v in V , U sub V $, i seguenti fatti sono equivalenti:
1) $ v+U sube R^n $
2) $ 0_(R^n) in v + U $
3) $ (v + U ) cap U neq emptyset $
4) $ v in U $
5) $ v+U = U $ . "
Purtroppo non riesco ad inquadrare bene questo concetto. Mi sembra di aver capito che, geometricamente parlando, una varietà lineare la posso visualizzare come un sottospazio che viene traslato tramite il vettore a cui viene sommato. Fin qui nulla di difficoltoso mi sembra, però con questa immagine nella mente non riesco a comprendere alcune delle asserzioni che vengono proposte nella proposizione poco sopra, in particolare come fanno a dimostrare 2)--->3) , 3)--->4), 4)--->5) .
Un secondo problema che mi sovviene poi, è capire quando una varietà lineare è un sottospazio.
In sostanza non ho capito molto cosa mi debbano rappresentare, anche perchè il professore non ha approfondito l'argomento e si è limitato a fare superficiali considerazioni che non ho molto capito.
Se poteste farmi una mano,vi sarei grato
Grazie mille
Risposte
Ciao!
Mmmmm, più che altro io mi chiedo perché ti pare banale 1) implica 2), dal momento che, per come l'hai definita, ogni varietà lineare è contenuta in $RR^n$.
Anzi, penso che al punto 1), al posto di $R^n$, ci vorrebbe $V$, che penso sia un sottospazio vettoriale come $U$, vero?
A parte questo, le cose non continuano a quadrare, perché ad esempio considera la varietà lineare: $(1,0,0)+<(0,1,1)>$, che non contiene il vettore nullo, eppure $(1,0,0)$ e $<(0,1,1)>$ sono entrambi contenuti nel sottospazio $<(0,1,1), (1,0,0)>$.
Allora, io direi che la catena di equivalenze parta dal punto 2), le implicazioni sono molto semplici da dimostrare. Ad esempio, per 3) implica 4):
Esiste un vettore $u$ contenuto in $U$ tale che $u=v+w$, dove $w$ è un vettore di $U$. Ma allora $v=u-w$, quindi $v$ è in $U$.
Mmmmm, più che altro io mi chiedo perché ti pare banale 1) implica 2), dal momento che, per come l'hai definita, ogni varietà lineare è contenuta in $RR^n$.
Anzi, penso che al punto 1), al posto di $R^n$, ci vorrebbe $V$, che penso sia un sottospazio vettoriale come $U$, vero?
A parte questo, le cose non continuano a quadrare, perché ad esempio considera la varietà lineare: $(1,0,0)+<(0,1,1)>$, che non contiene il vettore nullo, eppure $(1,0,0)$ e $<(0,1,1)>$ sono entrambi contenuti nel sottospazio $<(0,1,1), (1,0,0)>$.
Allora, io direi che la catena di equivalenze parta dal punto 2), le implicazioni sono molto semplici da dimostrare. Ad esempio, per 3) implica 4):
Esiste un vettore $u$ contenuto in $U$ tale che $u=v+w$, dove $w$ è un vettore di $U$. Ma allora $v=u-w$, quindi $v$ è in $U$.
Grazie per la risposta una cosa che non mi è ancora chiara è come faccia una varietà lineare ad essere un sottospazio. Cioè devo semplicemente considerare il sottospazio traslato? e lo zero è ancora contenuto nel sottospazio traslato?
una cosa che non mi è ancora chiara è come faccia una varietà lineare ad essere un sottospazio. Cioè devo semplicemente considerare il sottospazio traslato? e lo zero è ancora contenuto nel sottospazio traslato?
Ah sì, ho dimenticato di aggiungerlo.
Una caratterizzazione per un sottospazio vettoriale è che contenga il vettore nullo. Quindi la tua varietà lineare è un sottospazio se e solo se vale quella condizione 2), se e solo se, alla luce di quelle equivalenze, $v\in U$.
Una caratterizzazione per un sottospazio vettoriale è che contenga il vettore nullo. Quindi la tua varietà lineare è un sottospazio se e solo se vale quella condizione 2), se e solo se, alla luce di quelle equivalenze, $v\in U$.
Perfetto grazie mille
grazie mille
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