Varietà e sottovarietà ed esercizio
Ciao a tutti.
1) Qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza tra sottovarietà e varietà?
Nelle definizioni sembrano molto simili, però nelle sottovarietà la dimensione $d$ può essere $1<=d<=n-1$, mentre nelle varietà $0<=d<=n$. Quali sono le differenze sostanziale?
2) Sia $M={(x,y) in R^2 : x^2-y^2=1} uu {(x,y) in R^2 : y=x}$. Dimostrare che è una 1-varietà di $R^2$
Considero le due funzioni $f(x,y) = x^2-y^2-1$ e $g(x,y) = y-x$. Allora l'insieme M è l'unione del luogo degli zeri delle funzioni.
Cosa faccio, calcolo il gradiente di ogni funzione e concludo che non annullandosi in punti di M, allora M è unione di due sottovarietà(o varietà?) e quindi è anch'essa una 1-varietà? (è vero che l'unione di due sottovarietà è anch'essa una sottovarietà?
Oppure considero l'uguaglianza $f(x,y)=g(x,y)$ e ottengo
$h(x,y)=x^2-y^2-1-y-x$ ?
In questo modo calcolo il gradiente di h, $nablah(x,y) = (2x-1,-2y-1)$ che si annulla solo in $(1/2,-1/2)$ che non è un punto di M, allora M è una ipersuperficie di dimensione $n-1$ e quindi 1.
Qual è il ragionamento più corretto?
1) Qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza tra sottovarietà e varietà?
Nelle definizioni sembrano molto simili, però nelle sottovarietà la dimensione $d$ può essere $1<=d<=n-1$, mentre nelle varietà $0<=d<=n$. Quali sono le differenze sostanziale?
2) Sia $M={(x,y) in R^2 : x^2-y^2=1} uu {(x,y) in R^2 : y=x}$. Dimostrare che è una 1-varietà di $R^2$
Considero le due funzioni $f(x,y) = x^2-y^2-1$ e $g(x,y) = y-x$. Allora l'insieme M è l'unione del luogo degli zeri delle funzioni.
Cosa faccio, calcolo il gradiente di ogni funzione e concludo che non annullandosi in punti di M, allora M è unione di due sottovarietà(o varietà?) e quindi è anch'essa una 1-varietà? (è vero che l'unione di due sottovarietà è anch'essa una sottovarietà?
Oppure considero l'uguaglianza $f(x,y)=g(x,y)$ e ottengo
$h(x,y)=x^2-y^2-1-y-x$ ?
In questo modo calcolo il gradiente di h, $nablah(x,y) = (2x-1,-2y-1)$ che si annulla solo in $(1/2,-1/2)$ che non è un punto di M, allora M è una ipersuperficie di dimensione $n-1$ e quindi 1.
Qual è il ragionamento più corretto?
Risposte
Nessuno??
1) Per quanto riguarda l'ottimizzazione vincolata per funzioni reali definite su aperti di $\mathbb R^n$ si ha sempre a che fare con sottovarietà di $\mathbb R^n$, che sono a loro volta varietà differenziabili. La nozione di varietà è più generale e prescinde da quello che hai detto su $d$: una varietà differenziabile non è necessariamente un sottoinsieme di un $\mathbb R^n$.
2) L'unione di due sottovarietà di $\mathbb R^n$ in generale non è una sottovarietà di $\mathbb R^n$, a meno che, per esempio, come è in questo caso, si tratta di una unione disgiunta. Dunque qui bastava controllare che i due pezzi di $M$ erano sottovarietà. Si tratta, precisamente, di un'iperbole equilatera unita ad uno dei suoi asintoti.
2) L'unione di due sottovarietà di $\mathbb R^n$ in generale non è una sottovarietà di $\mathbb R^n$, a meno che, per esempio, come è in questo caso, si tratta di una unione disgiunta. Dunque qui bastava controllare che i due pezzi di $M$ erano sottovarietà. Si tratta, precisamente, di un'iperbole equilatera unita ad uno dei suoi asintoti.
"Luca.Lussardi":
1) Per quanto riguarda l'ottimizzazione vincolata per funzioni reali definite su aperti di $\mathbb R^n$ si ha sempre a che fare con sottovarietà di $\mathbb R^n$, che sono a loro volta varietà differenziabili. La nozione di varietà è più generale e prescinde da quello che hai detto su $d$: una varietà differenziabile non è necessariamente un sottoinsieme di un $\mathbb R^n$.
2) L'unione di due sottovarietà di $\mathbb R^n$ in generale non è una sottovarietà di $\mathbb R^n$, a meno che, per esempio, come è in questo caso, si tratta di una unione disgiunta. Dunque qui bastava controllare che i due pezzi di $M$ erano sottovarietà. Si tratta, precisamente, di un'iperbole equilatera unita ad uno dei suoi asintoti.
Grazie tante!
Se non si trattasse di unione disgiunta, allora andrebbe bene il secondo metodo che ho attuato?
Non mi è chiaro questo metodo; è chiaro che se l'unione non è disgiunta allora i punti che potrebbero dar fastidio, sempre che i due pezzi sono sottovarietà per i fatti loro, sono solo i punti di intersezione tra i due pezzi, punti che trovi come hai scritto tu facendo $f=g$. Però a questo punto mi pare che se esistono punti di intersezione, l'unica possibilità per cui $M$ sia una sottovarietà è che i due pezzi coincidano completamente, quindi non hai speranza.
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