Varietà differenziabili, campi di vettori e spazi tangenti
ero indeciso se postarlo qua o in algebra, ma comunque...
sto studiando geometria differenziale delle varietà e ho alcuni dubbi "algebrici":
Definiamo [tex]\mathfrak{F}(M)=\lbrace f:M \rightarrow \mathbb{R} | \mathrm{f \space è \space differenziabile \space su \space M} \rbrace[/tex]. Ora, definendo le seguenti operazioni:
[tex]+: (f+g)(p)=f(p)+g(p)[/tex] e [tex]\cdot: (\lambda \cdot f)(p)=\lambda \space f(p), \forall \lambda \in \mathbb{R}[/tex] si può definire una struttura di spazio vettoriale. Inoltre, definendo la seguente operazione interna [tex]fg(p)=f(p)g(p)[/tex] [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex] acquisisce una struttura di ANELLO COMMUTATIVO CON UNITà (non campo perchè solo le funzioni diverse da zero in ogni punto hanno inverso moltiplicativo). Dato che il prodotto tra funzioni è bilineare, [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex] è anche un'algebra sui reali.
Ora, definendo l'insieme dei campi di vettori su M [tex]\mathfrak{X}(M)[/tex] come l'insieme delle derivazioni dell'algebra [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex], si ha che questo è un MODULO sull'insieme delle funzioni differenziabili. In ogni aperto [tex]U[/tex] della varietà che sia immagine di una carta locale, esiste una base "canonica"per lo spazio dei campi di vettori in tale aperto, ovvero per [tex]\mathfrak{X}(U)[/tex]. Mi chiedo: questo è ancora un modulo? E, il modulo dei campi di vettori sull'intera verietà è finitamente generato?
sto studiando geometria differenziale delle varietà e ho alcuni dubbi "algebrici":
Definiamo [tex]\mathfrak{F}(M)=\lbrace f:M \rightarrow \mathbb{R} | \mathrm{f \space è \space differenziabile \space su \space M} \rbrace[/tex]. Ora, definendo le seguenti operazioni:
[tex]+: (f+g)(p)=f(p)+g(p)[/tex] e [tex]\cdot: (\lambda \cdot f)(p)=\lambda \space f(p), \forall \lambda \in \mathbb{R}[/tex] si può definire una struttura di spazio vettoriale. Inoltre, definendo la seguente operazione interna [tex]fg(p)=f(p)g(p)[/tex] [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex] acquisisce una struttura di ANELLO COMMUTATIVO CON UNITà (non campo perchè solo le funzioni diverse da zero in ogni punto hanno inverso moltiplicativo). Dato che il prodotto tra funzioni è bilineare, [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex] è anche un'algebra sui reali.
Ora, definendo l'insieme dei campi di vettori su M [tex]\mathfrak{X}(M)[/tex] come l'insieme delle derivazioni dell'algebra [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex], si ha che questo è un MODULO sull'insieme delle funzioni differenziabili. In ogni aperto [tex]U[/tex] della varietà che sia immagine di una carta locale, esiste una base "canonica"per lo spazio dei campi di vettori in tale aperto, ovvero per [tex]\mathfrak{X}(U)[/tex]. Mi chiedo: questo è ancora un modulo? E, il modulo dei campi di vettori sull'intera verietà è finitamente generato?
Risposte
Pensa a come andrebbero definiti i campi sull'aperto $U$ e ti risponderai da solo (ragiona per restrizioni).
beh effettivamente è ancora un modulo perchè non è detto che la restrizione di un'arbitraria funzione ad un aperto della varietà sia una funzione non nulla, per cui [tex]\mathfrak{F}(U)[/tex] è ancora un anello. Ma per la seconda domanda? Come devo ragionare?
provo a ragionarci:
allora abbiamo il nostro campo [tex]X: \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M)[/tex] che è una derivazione di [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex] e una carta locale [tex]x: \mathbb{R}^n \supset A \rightarrow U \subset M[/tex] e poniamo [tex]x^-1=(x_1,...,x_n)[/tex]: allora [tex]x_i \in \mathfrak{F}(U)[/tex] e [tex]X[/tex] si può scrivere come [tex]X=\sum_{i=1}^{n} X[x_i] \frac {\partial}{\partial x_i}[/tex]dove, ATTENZIONE: [tex]X[x_i] \in \mathfrak{F}(U)[/tex] e [tex]\frac {\partial}{\partial x_i} \in \mathfrak{X}(U)[/tex]. Dunque, definendolo così, [tex]X[f]=X[\tilde f][/tex] dove [tex]\tilde f[/tex] è la restrizione di [tex]f[/tex] ad [tex]U[/tex]. Consideriamo un'altra carta locale \(\displaystyle y: \mathbb{R}^n \supset B \rightarrow V \subset M \) e consideriamo \(\displaystyle y^-1=(y_1,...,y_n) \). Restringiamo \(\displaystyle y^-1 \) all'aperto \(\displaystyle V \setminus U \): allora, definendo per ogni carta locale \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}[f](p)=0 \) o \(\displaystyle X[x_i](p)=0 \) per ogni \(\displaystyle p \) che non sta nell'aperto immagine della carta locale, possiamo scrivere [tex]X=\sum_{i=1}^{n} X[x_i]\frac {\partial}{\partial x_i} + X[y_i]\frac {\partial}{\partial y_i}[/tex] e stavolta possiamo applicarlo a funzioni \(\displaystyle \in \mathfrak{F}(U \cup V) \).
Ecco, io non so se questo risponde alla mia domanda o se è giusto, però in questo modo so che se ho un numero finito di carte locali che ricoprono la varietà, posso scrivere il campo come una combinazione lineare finita dei campi derivate parziali rispetto al sistema di coordinate locali
allora abbiamo il nostro campo [tex]X: \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M)[/tex] che è una derivazione di [tex]\mathfrak{F}(M)[/tex] e una carta locale [tex]x: \mathbb{R}^n \supset A \rightarrow U \subset M[/tex] e poniamo [tex]x^-1=(x_1,...,x_n)[/tex]: allora [tex]x_i \in \mathfrak{F}(U)[/tex] e [tex]X[/tex] si può scrivere come [tex]X=\sum_{i=1}^{n} X[x_i] \frac {\partial}{\partial x_i}[/tex]dove, ATTENZIONE: [tex]X[x_i] \in \mathfrak{F}(U)[/tex] e [tex]\frac {\partial}{\partial x_i} \in \mathfrak{X}(U)[/tex]. Dunque, definendolo così, [tex]X[f]=X[\tilde f][/tex] dove [tex]\tilde f[/tex] è la restrizione di [tex]f[/tex] ad [tex]U[/tex]. Consideriamo un'altra carta locale \(\displaystyle y: \mathbb{R}^n \supset B \rightarrow V \subset M \) e consideriamo \(\displaystyle y^-1=(y_1,...,y_n) \). Restringiamo \(\displaystyle y^-1 \) all'aperto \(\displaystyle V \setminus U \): allora, definendo per ogni carta locale \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}[f](p)=0 \) o \(\displaystyle X[x_i](p)=0 \) per ogni \(\displaystyle p \) che non sta nell'aperto immagine della carta locale, possiamo scrivere [tex]X=\sum_{i=1}^{n} X[x_i]\frac {\partial}{\partial x_i} + X[y_i]\frac {\partial}{\partial y_i}[/tex] e stavolta possiamo applicarlo a funzioni \(\displaystyle \in \mathfrak{F}(U \cup V) \).
Ecco, io non so se questo risponde alla mia domanda o se è giusto, però in questo modo so che se ho un numero finito di carte locali che ricoprono la varietà, posso scrivere il campo come una combinazione lineare finita dei campi derivate parziali rispetto al sistema di coordinate locali
E' esattamente quello che hai scritto. L'unica cosa è che più che poter definire quelle derivate nulle, puoi far vedere che esiste un adeguato cambio di coordinate per cui alcune coordinate risultano nulle. In ogni caso, va bene anche così.
ma così io ho dimostrato che è finitamente generato solo nel caso che esista un atlante finito, o no?
No, perché? Non ti seguo.
ho ricevuto stamattina la mail del mio professore in risposta allo stesso quesito. Ecco:
> il modulo X(M) è
> finitamente generato?
In genere no. L'esempio di sopra dice che l' F(M)-modulo X(M) e' sempre
LOCALMENTE, cioe' sul dominio U di una carta locale, finitamente
generato. Vuol dire che ogni campo di vettori tangente a U puo' essere
espresso come combinazione lineare dei campi coordinati su U. D'altra
parte X(M) ha dimensione infinita (dato un campo tangente, si trovano
altri campi tangenti moltiplicandolo per reali e per funzioni non
nulle, e ruotandolo nello spazio tangente. Ma X(M) puo' non essere un
modulo libero, cioe' dotato di una base globale. Sulla sfera S^3 di R^4
esistono tre campi di vettori tangenti linearmente indipendenti, ma
sulla sfera ordinaria S^2 di R^3 (si puo' dimostrare che) ogni campo di
vettori si annulla in qualche punto, e quindi non esistono due campi di
vettori linearmente indipendenti in ogni punto con i quali esprimere il
generico campo tangente.
e quindi anche il mio ragionamento di sopra è errato, dato che una sfera ammette un atlante con un numero finito di carte...
> il modulo X(M) è
> finitamente generato?
In genere no. L'esempio di sopra dice che l' F(M)-modulo X(M) e' sempre
LOCALMENTE, cioe' sul dominio U di una carta locale, finitamente
generato. Vuol dire che ogni campo di vettori tangente a U puo' essere
espresso come combinazione lineare dei campi coordinati su U. D'altra
parte X(M) ha dimensione infinita (dato un campo tangente, si trovano
altri campi tangenti moltiplicandolo per reali e per funzioni non
nulle, e ruotandolo nello spazio tangente. Ma X(M) puo' non essere un
modulo libero, cioe' dotato di una base globale. Sulla sfera S^3 di R^4
esistono tre campi di vettori tangenti linearmente indipendenti, ma
sulla sfera ordinaria S^2 di R^3 (si puo' dimostrare che) ogni campo di
vettori si annulla in qualche punto, e quindi non esistono due campi di
vettori linearmente indipendenti in ogni punto con i quali esprimere il
generico campo tangente.
e quindi anche il mio ragionamento di sopra è errato, dato che una sfera ammette un atlante con un numero finito di carte...
Ahhhhhhhhhhh, scusa, avevo letto male nel primo post! Io pensavo continuassi a riferirti a quello sull'aperto $U$. Ti giuro che le parole "sull'intera varietà" non le avevo proprio viste!
e quindi del mio ragionamento sopra cosa c'è che non va?
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