Varietà differenziabile
Domanda sulle varietà differenziabili. Unca curva differenziabile nel piano euclideo è una varietà differenziabile? E lo è in quanto curva differenziabile o viceversa la curva è differenziabile in quanto varietà differenziabile?
Risposte
Definizione di varietà topologica:
Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico di Hausdorff $X$ in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo ad un aperto dello spazio euclideo $n$-dimensionale $RR^n$ . Il numero $n$ è la dimensione della varietà.
Un omeomorfismo fra un aperto di $X$ e un aperto di $RR^n$ è detto carta.
Una varietà differenziabile è una varietà topologica in cui i cambiamenti di carte sono funzioni differenziabili di classe $C^k$ o $C^infty$.
Se alla curva corrispondono le caratteristiche espresse sopra, allora è una 1-varietà differenziabile.
Infatti esistono curve differenziabili che non sono varietà differenziabili, per esempio la curva definita nel seguente modo:
$\gamma:(-\pi/2, (3\pi)/2)->RR^2$ data da $\gamma(t)=(sin(2t), cos(t))$
è una curva differenziabile (infatti è addirittura un'immersione iniettiva), ma non è un diffeomorfismo (omeomorfismo differenziabile), infatti l'intervallo $(-\pi/2, (3\pi)/2)$ è un'aperto, mentre $Im\gamma$ è un chiuso di $RR^2$, quindi la curva così espressa non rispetta la definizione di varietà differenziabile.
Quindi per ripondere alle tue domande:
Dipende, non è detto che lo sia.
No, vedi l'esempio che ti ho fatto.
Si, se la tua curva è una varietà differenziabile, allora tale curva è una curva differenziabile.
Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico di Hausdorff $X$ in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo ad un aperto dello spazio euclideo $n$-dimensionale $RR^n$ . Il numero $n$ è la dimensione della varietà.
Un omeomorfismo fra un aperto di $X$ e un aperto di $RR^n$ è detto carta.
Una varietà differenziabile è una varietà topologica in cui i cambiamenti di carte sono funzioni differenziabili di classe $C^k$ o $C^infty$.
Se alla curva corrispondono le caratteristiche espresse sopra, allora è una 1-varietà differenziabile.
Infatti esistono curve differenziabili che non sono varietà differenziabili, per esempio la curva definita nel seguente modo:
$\gamma:(-\pi/2, (3\pi)/2)->RR^2$ data da $\gamma(t)=(sin(2t), cos(t))$
è una curva differenziabile (infatti è addirittura un'immersione iniettiva), ma non è un diffeomorfismo (omeomorfismo differenziabile), infatti l'intervallo $(-\pi/2, (3\pi)/2)$ è un'aperto, mentre $Im\gamma$ è un chiuso di $RR^2$, quindi la curva così espressa non rispetta la definizione di varietà differenziabile.
Quindi per ripondere alle tue domande:
"giaco1975":
Una curva differenziabile nel piano euclideo è una varietà differenziabile?
Dipende, non è detto che lo sia.
"giaco1975":
E lo è in quanto curva differenziabile?
No, vedi l'esempio che ti ho fatto.
"giaco1975":
la curva è differenziabile in quanto varietà differenziabile?
Si, se la tua curva è una varietà differenziabile, allora tale curva è una curva differenziabile.
Chiarissimo, grazie.
Di niente! 
Ricorda (in generale) che un "oggetto" geometrico (curve, superficie, iper-superficie) è una varietà differenziabile se esiste almeno un modo di poterlo scrivere come da definizione riportata nel mio post sopra.
esempio:
il paraboloide $\phi:RR^2->RR^3$ espresso con $(u^2,v^2,u^4+v^4)$ è parametrizzato con una parametrizzazione non regolare, perchè non rispetta i "canoni" di regolarità che ti ho scritto nel post sopra, ma questo non significa che il paraboloide (in generale) non sia una varietà differenziabile, perchè per esempio posso parametrizzarlo con $(u,v,u^2+v^2)$ che è una parametrizzazione che rispetta i "famosi canoni" di regolarità, quindi si può dire che il paraboloide è una varietà differenziabile.
Ciao
Ricorda (in generale) che un "oggetto" geometrico (curve, superficie, iper-superficie) è una varietà differenziabile se esiste almeno un modo di poterlo scrivere come da definizione riportata nel mio post sopra.
esempio:
il paraboloide $\phi:RR^2->RR^3$ espresso con $(u^2,v^2,u^4+v^4)$ è parametrizzato con una parametrizzazione non regolare, perchè non rispetta i "canoni" di regolarità che ti ho scritto nel post sopra, ma questo non significa che il paraboloide (in generale) non sia una varietà differenziabile, perchè per esempio posso parametrizzarlo con $(u,v,u^2+v^2)$ che è una parametrizzazione che rispetta i "famosi canoni" di regolarità, quindi si può dire che il paraboloide è una varietà differenziabile.
Ciao
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