Varietà
Salve a tutti! Avrei bisogno di qualche illuminazione su due domande di topologia che mi stanno facendo impazzire...
1) Dimostrare che le varietà sono regolari.
2) Si introduce sulla sfera $S^n subset RR^(n+1)$ la seguente relazione di equivalenza: $p sim -p$. Dimostrare che il quoziente $S^n$/$sim$ forma una varietà n-dimensionale. Inoltre dimostrare che $S^1$/$sim$ è omeomorfo a $S^1$.
1)
Il fatto che le varietà sono Hausdorff, cioè T2, implica direttamente T1. Quello che bisogna dimostrare è che le varietà sono T3.
Io avevo pensato di lavorare poi con le basi della topologia per dimostrare che è T3, ma non riesco a ficcarci dentro la condizione di localmente euclideo per dimostrare T3...
2)
Per la prima parte devo in pratica dimostrare le tre proprietà di varietà, ovvero T2, 2A e localmente euclideo. Ma come?
Per la seconda parte non so proprio da dove partire...
Sono una frana in topologia
, chi mi sa aiutare?
1) Dimostrare che le varietà sono regolari.
2) Si introduce sulla sfera $S^n subset RR^(n+1)$ la seguente relazione di equivalenza: $p sim -p$. Dimostrare che il quoziente $S^n$/$sim$ forma una varietà n-dimensionale. Inoltre dimostrare che $S^1$/$sim$ è omeomorfo a $S^1$.
1)
Il fatto che le varietà sono Hausdorff, cioè T2, implica direttamente T1. Quello che bisogna dimostrare è che le varietà sono T3.
Io avevo pensato di lavorare poi con le basi della topologia per dimostrare che è T3, ma non riesco a ficcarci dentro la condizione di localmente euclideo per dimostrare T3...
2)
Per la prima parte devo in pratica dimostrare le tre proprietà di varietà, ovvero T2, 2A e localmente euclideo. Ma come?
Per la seconda parte non so proprio da dove partire...
Sono una frana in topologia
, chi mi sa aiutare?
Risposte
cosa intendi per regolare???
il secondo è lo spazio proiettivo..perchè lo spazio proiettivo è l'insieme delle rette per l'origine..allora ogni retta è determinata da un vettore per l'origine,li scegli di norma uno e consideri equivalenti i loro multipli(quindi anche quelli ottenuti moltiplicando per numeri negativi da cui $S^n$/~)..esso è di Hausdorff perchè è il quoziente di uno spazio di Hausdorff($S^n$) per l'azione del gruppo finito di omomorfismi $< Id , -Id >$, inoltre gli insiemi della forma $Ui= { [x0,x1,...xn] con x i!=0}$ sono aperti perchè la loro immagine inversa è $RxRxRx...R\{0}xRxR...xR$ e quindi aperta, gli $Ui$ ricoprono lo spazio proiettivo e le mappe $fi: Ui ---> R^n$ date da $fi([x0,x1,...xn])=(x0/(x i),...xn/(x i))$ con le loro inverse $fi^(-1):R^n---->Ui$ date da
$fi^(-1) ((x1,...xn))=[x0,x1,...,x i-1,1,x i+1,...xn]$ sono omeomorfismi(in realtà diffeomorfismi) locali con $R^n$
$fi^(-1) ((x1,...xn))=[x0,x1,...,x i-1,1,x i+1,...xn]$ sono omeomorfismi(in realtà diffeomorfismi) locali con $R^n$
miuemia: regolare :$<=>$ T1 e T3.
Alberto: Ehm...ti offendi se ti dico che non ho capito proprio nulla di quello che hai detto?
Alberto: Ehm...ti offendi se ti dico che non ho capito proprio nulla di quello che hai detto?
è semplice prova ad andare qui
http://www.mat.uniroma1.it/people/manetti/ vai su didattica poi cerca topologia apri le dispense e vai a pagina 72,23
leggiti anche la parte sui quozienti Hausdorff
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leggiti anche la parte sui quozienti Hausdorff
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