varietà differenziabili

[aleberto69]

Buonasera,
sono un appassionato autodidatta disperato non avendo modo di confrontarmi con altri appassionati di geometria differenziale.
Sto leggendo con interesse il libro di Bishop Goldberg " tensor calculus on manyfold".. pensavo di aver capito qualcosa e gia mi sono arenato di nuovo.
Mi interessa molto la comprensione profonda e generale da cui scendere semmai al particolare per cui non apprezzo quando anche gli stessi autori fanno esempi
troppo specifici.. mi spiego meglio ed il tema è quello della verifica se una varietà è oltre che topologica anche differenziabile.. ( C1 o Cinfinito cioè liscia ecc).
Ero felice di aver capito che in generale (per generale intendo su varietà astratte e non necessariamente definite su topologie derivate da qualche Rn)
non è possibile definire la differenziabilità perche non è un concetto definito su tutti i tipi di insiemi (topologie), per cui il testo,
come del resto molti altri autori, la spiega attraverso le funzioni di transizione, ovvero la composizione di una mappa e di una mappa inversa che da origine ad una funzione a valori reali..
Se la funzione di transizione è differenziabile allora le mappe sono C1 o Cinfinito ( a seconda del livello di differenziabilità della funzione di transizione) related e cosi se l'altlante e formato da mappe "related" allora la varietà è C1 o Cinfinito a seconda ...
Fin qui bellissimo.. tuttavia mi son posto due problemi...
Se una certa varietà ha un atlante formato da una sola mappa come faccio il test? Non si possono creare funzioni di transizione e verrebbe da dire
che "no test quindi test passato..."
Poi pensando e ripensando sono arrivato ad un esempio dove ho concluso " allora non ho capito niente".
cerco aiuto...
L' esempio è relativo ad una curva fisica disegnata su un foglio o pensata astrattamente.. ma proprio perche mi piace la teoria generale non la
voglio descrivere numericamente....( senno anche tutta quella ricamata trattazione delle mappe e delle funzioni di transizione a che serve?).
Pensiamo quindi ad una curva chiusa idelizzata .. fatta da infiniti puntini su un foglio di carta...
Mi creo una prima mappa che, partendo da un origine fissata genera appunto un omeomorfismo tra il mio spazio (candidata varieta differenziabile) e un intervallo aperto di R,
misurando la distanza (origine , elemento di interesse) con un filo sottile sottile che seguendo la curva arriva fino al punto interessato...
Bene ragionando ho scoperto che perche non cada nel problema degli intorni non aperti non riesco a fare una mappa sola che "mappi" tutta la curva chiusa.
Si avrebbero intorni con un estremo compreso ( ad esempio lo zero che è relativo alla coordinata dell'origine).
Poco male, creo un'altra mappa che ha solo origine diversa ( e stando attenti al senso di percorrenza, a distinguere in maniera coerente quale delle duue distanze scegliere in base al senso di percorrenza dello spazio, ecc) con queste due mappe ottengo
un altante che mi permette di dire che sono di fronte ad una varietà perlomeno topologica.
Ora prendo le due mappe e le compongo (una con l'inversa dell altra) e avendo due modi di farlo ottengo le due funzioni di transizione.
Sempre seguento i dettami degli autori del libro, verifico il grado di differenziabilità delle due funzioni di transizione nei loro domini (che risultano essere l'unione di due intervalli aperti
che escludono la coordinata delle due origini)... bene, cosi facendo, concludo che le due funzioni di transizione sono Cinfinito e cosi pertanto risultano
anche la varietà (questa topologia + atlante delle due mappe cosi definito).
Ero molto contento fino a che ho pensato che questo procedimento è applicabile in maniera identica a qualsiasi curva chiusa, anche in spazi 3D o maggiori di 3D purche non ci siano intersezioni...
bene.. nessuno scandalo fin qui... la varietà in tutti i casi è cio che viene definito S1.
...poi pero ho pensato che questo stesso metodo di creare le mappe, cioè proprio le stesse mappe con gli stessi intervalli e quindi l'arrivare alle stesse
conclusioni è applicabile anche a curve che fanno "curve improvvise" e diciamo "spigolose"... per intenderci ... ad esempio un quadrato....
quindi arrivo alla conclusione che anche il quadrato è Cinfinito.. cosa che invece mi stona...
Eppure.... funzioni di transizione, mappe etc.. sono le stesse e mi sembra tutto sia secondo definizione degli autori..
"C'è forse una difficolta nel creare le mappe come distanza percorsa sull ascissa curvilinea se questa fa curve secche, o, per dirlo secondo la usanza scolastica, se la curva è continua ma
non ha una derivata continua?".
A me non sembra ci sia difficolta a dire che la mappa fatta con le distanze misurate lungo la curva non sia "buona"..
Eppure non voglio andare oltre le istruzioni e definizioni degli autori? quindi.....?
Cosa debbo concludere? sbaglio e non ho capito .... o il quadrato è una varietà Cinfinito?
Grazie mille in anticipo a chi mi aiuti...

Aleberto69

PS la AI (Chat GPT) che a volte provo ad usare come unico compagno disponibile .. mi dice che le mappe devono essere differenziabili..
ma poi si contraddice quando faccio notare che le mappe non si possono giudicare sulla differenziabilità perche non sono funzioni reali,
ma funzioni da una topologia astratta verso i reali e quindi devo applicare solo il test sulle funzioni di transizione......
La AI gira intorno ai discorsi, fa esempi che riportano a spazi reali .. insomma come parlare con un muro .. non coglie il mio dubbio oppure
mi da ragione ma è inconsistente...
Cerco un umano che se ne capisca e mi aiuti...
Il libro di cui parlo , ma le definizioni sono quelle di qualsiasi altro autore, è disponibile in rete in pdf...
Sicuramente il problema sono io ..che non ho capito ancora il senso profondo della questione...