Vare rango massimo di una matrice
scusate ma non riesco proprio a capire come posso trovare il rango massimo di una matrice con parametro k, per es se la matrice è questa:
1 k 2k 0
1 2 -1 0
k -4 2 0
1 -k -4 0
dove l'ultima colonna rapprresenta i termini noti del sistema, potreste spiegarmi passo passo come fare?
e se la colonna dei termini noti non è con tutti zeri, cioè il sistema non è omogeneo cambia qualcosa sul procedimento?
grazie
1 k 2k 0
1 2 -1 0
k -4 2 0
1 -k -4 0
dove l'ultima colonna rapprresenta i termini noti del sistema, potreste spiegarmi passo passo come fare?
e se la colonna dei termini noti non è con tutti zeri, cioè il sistema non è omogeneo cambia qualcosa sul procedimento?
grazie
Risposte
se hai una matrice quadrata e il suo determinante è non nullo,allora ha rango massimo.A quel punto fai il det della matrice,lo uguagli a zero e vedi per quali valori è non nullo
e come calcolo il det di una matrice 4x4?
Senza sostituire alcun valore al parametro $k$ ti ricavi l'espressione del determinante e a questo punto stabilisci per quali valori di $k$ il det è diverso da zero.
Puoi partire calcolando un minore di ordine 2 e poi proseguire applicando il principio dei minori orlati per minimizzare i calcoli.
Ad esempio per la matrice da te scritta il det è nullo dato che hai l'ultima riga con elementi tutti nulli e sicuramente il det sarà $<=3$
Puoi partire calcolando un minore di ordine 2 e poi proseguire applicando il principio dei minori orlati per minimizzare i calcoli.
Ad esempio per la matrice da te scritta il det è nullo dato che hai l'ultima riga con elementi tutti nulli e sicuramente il det sarà $<=3$
"MR b":
e come calcolo il det di una matrice 4x4?
in generale puoi usare lo sviluppo di Laplace
ok grazie invece se avessi una matrice 3x4 e mi chiede sempre di trovare il rango massimo, i minori di ordine 3 estraibili da quella matrice sono 4, mi tocca calcolarli tutti?? e poi è giusto che il valore di k giusto è quello ke hanno in comune tutti i minori di ordine 3? cioe se nel primo minore trovo k=0 e k=2, nel secondo k=0 e k=-1 e anche negli altri sempre k=0 e un altro nbumero, il risultato giusto è solo k=0 o anke tutti gli altri trovati??
ad esempio avendo questa matrice come posso fare as calcolare il rango massimo? vi prego aiutatemi nn so proprio cm muovermi cn la geometria
k 1 1 2k
2 1 2 -1
4 -k 4 -2
come al solito l'ultima colonna è qll dei termini noti
k 1 1 2k
2 1 2 -1
4 -k 4 -2
come al solito l'ultima colonna è qll dei termini noti
come ti ho già detto nell'altro topic, devi partire da un minore con determinante non nullo (in questo caso $((1,1),(1,2))$), poi applicare il teorema degli orlati
"Alxxx28":
Senza sostituire alcun valore al parametro $k$ ti ricavi l'espressione del determinante e a questo punto stabilisci per quali valori di $k$ il det è diverso da zero.
Puoi partire calcolando un minore di ordine 2 e poi proseguire applicando il principio dei minori orlati per minimizzare i calcoli.
Ad esempio per la matrice da te scritta il det è nullo dato che hai l'ultima riga con elementi tutti nulli e sicuramente il det sarà $<=3$
Mi trovo quando dici che il det è nullo e mi trovo con le proprietà elecante sul mio libro.
Ma non capisco perchè dice che il det è minore o uguale a $3$, è una regola generale? O forse volevi dire rango?
Grazie
"itpareid":
come ti ho già detto nell'altro topic, devi partire da un minore con determinante non nullo (in questo caso $((1,1),(1,2))$), poi applicare il teorema degli orlati
ti risulta ke il risultato è k div da 1,k diverso da -2 e k divers da -1/4? per questi valori il rango della matrice è massimo, cioè 3
io da quel che ho capito del teorema degli orlai è che data una matrice, si incomincia dall'elemento della matrice con det non nullo.
Quindi, quella matrice ha minimo $rang = 1$, poi lo orlo! e diventa la minimatrice come ha segnato ITPAREID, ed è non nullo!
Vado avanti:
orlando prendo la matrice:
$((k,1,1),(2,1,2),(4,-k,4))$
viene: $2k+2k^2 =0$ DA CUI ---> $1+k$ questo è il determinante
ora forse si dovrebbe fare il caso di:
$det = 0$ allora $k = -1$ e il rang è $3$
ma il determinante di una matrice rettangolare non si può fare!!!
Quindi, quella matrice ha minimo $rang = 1$, poi lo orlo! e diventa la minimatrice come ha segnato ITPAREID, ed è non nullo!
Vado avanti:
orlando prendo la matrice:
$((k,1,1),(2,1,2),(4,-k,4))$
viene: $2k+2k^2 =0$ DA CUI ---> $1+k$ questo è il determinante
ora forse si dovrebbe fare il caso di:
$det = 0$ allora $k = -1$ e il rang è $3$
ma il determinante di una matrice rettangolare non si può fare!!!
"clever":
io da quel che ho capito del teorema degli orlai è che data una matrice, si incomincia dall'elemento della matrice con det non nullo.
Quindi, quella matrice ha minimo $rang = 1$, poi lo orlo! e diventa la minimatrice come ha segnato ITPAREID, ed è non nullo!
Vado avanti:
orlando prendo la matrice:
$((k,1,1),(2,1,2),(4,-k,4))$
viene: $2k+2k^2 =0$ DA CUI ---> $1+k$ questo è il determinante
ora forse si dovrebbe fare il caso di:
$det = 0$ allora $k = -1$ e il rang è $3$
ma il determinante di una matrice rettangolare non si può fare!!!
non ho controllato i calcoli, comunque secondo me ci sono alcune inesattezze...
il rango minimo della matrice è $2$ per via di quel minore
se il determinante è $2k+2k^2$, si annulla anche per $k=0$
devi considerare anche l'altro orlato
in base ai valori di $k$ che annullano il determinante dell'altro orlato puoi concludere con considerazioni sul rango in base a $k$
EDIT: non mi torna neanche il determinante...
"MR b":
[quote="itpareid"]come ti ho già detto nell'altro topic, devi partire da un minore con determinante non nullo (in questo caso $((1,1),(1,2))$), poi applicare il teorema degli orlati
ti risulta ke il risultato è k div da 1,k diverso da -2 e k divers da -1/4? per questi valori il rango della matrice è massimo, cioè 3[/quote]
il determinante del primo orlato si annulla per $k=1$ e $k=-2$
quello del secondo per $k=-2$ e $k=-1/4$
entrambi gli orlati hanno determinante nullo per $k=-2$, per il teorema degli orlati per tale valore di $k$ la matrice ha rango $2$
per tutti gli altri valori di $k$ si annulla al più il determinante di un orlato quindi il rango è $3$
salvo errori ed omissioni...
Ah ho capito, cioè vorrei scrivere uno schema per vedere se ho capito realmente...
Caso di: matrice rettangolare con parametro, calcolare il rango.
1. prendo tutti i minori con il parametro, e calcolo l'orlato di ogni minore.
2. mi segno per quali valori si annulla il determinante
3. vedo i valori comuni per cui si annulla il determinante, e decido quale sia il valore 'minimo' del rango.
sono questi i primi passaggi da fare?
Inoltre domanda mia: per una matrice $3x4$ il massimo rango prevedibile 'teoricamente' è $3$ o $4$?
Caso di: matrice rettangolare con parametro, calcolare il rango.
1. prendo tutti i minori con il parametro, e calcolo l'orlato di ogni minore.
2. mi segno per quali valori si annulla il determinante
3. vedo i valori comuni per cui si annulla il determinante, e decido quale sia il valore 'minimo' del rango.
sono questi i primi passaggi da fare?
Inoltre domanda mia: per una matrice $3x4$ il massimo rango prevedibile 'teoricamente' è $3$ o $4$?
"clever":
Inoltre domanda mia: per una matrice $3x4$ il massimo rango prevedibile 'teoricamente' è $3$ o $4$?
Ragiona un attimo ricordando la definizione di rango. E' possibile avere 4 righe linearmente indipendenti per questa matrice?
"itpareid":
[quote="MR b"][quote="itpareid"]come ti ho già detto nell'altro topic, devi partire da un minore con determinante non nullo (in questo caso $((1,1),(1,2))$), poi applicare il teorema degli orlati
ti risulta ke il risultato è k div da 1,k diverso da -2 e k divers da -1/4? per questi valori il rango della matrice è massimo, cioè 3[/quote]
il determinante del primo orlato si annulla per $k=1$ e $k=-2$
quello del secondo per $k=-2$ e $k=-1/4$
entrambi gli orlati hanno determinante nullo per $k=-2$, per il teorema degli orlati per tale valore di $k$ la matrice ha rango $2$
per tutti gli altri valori di $k$ si annulla al più il determinante di un orlato quindi il rango è $3$
salvo errori ed omissioni...[/quote]
quindi se la domanda dell'esercizio è: trovare i valori di k per cui la matrice completa (A|B) ha rango massimo, la scrittura seguente è giusta:
per k=-2 rango(A|B)=2
per k diverso da -1/4 e k diverso da 1 e k diverso da -2 rango(A|B)=3 e per questi ultimi 3 valori ha rango massimo.
sbaglio??
ora se mi chiede per quali k il sistema ammette infinito a 1 soluzioni il risultato è che per k=-2 per k=1 e per k=-1/4 il sistema ha rango 2 percio infinite soluzioni.
c'è qualche errore?
Credo che questo esercizio vada riguardato. Ti riferisci alle soluzioni del sistema parametrico che segue?
$\{(kx + y + z = 2k),(2x+y+2z=-1),(4x-ky+4z=-2):}$
Osserva che la matrice dei coefficienti ha per determinante la quantità: $2k^2+2k-4=0$, le cui soluzioni sono $k_1=-2$ e $k_2=1$.
A) Questo sistema per $k!=-2$ e $k!=1$ ammette un'unica soluzione.
B) Per $k=-2$ ammette $oo^1$ soluzioni.
C) per $k=1$ è impossibile.
Se poi quella che hai scritto è la matrice associata ad un sistema omogeneo, allora bisogna modificare le conclusioni.
Mi limito a farti notare che per calcolare il rango di una matrice parametrica, non devi seguire la strada di estrarre tutti i minori di un certo ordine e poi calcolare il determinante e infine confrontare i valori trovati. Mi pare che leggendo il post velocemente ho visto una sorta di scaletta e non va proprio bene.
Se ti assegnano una matrice $4x6$ parametrica, da essa puoi estrarre $15$ matrici di ordine $4$. Può un umano infliggere una punizione di farti calcolare $15$ determinanti di ordine $4$?
Devi rivedere un pochino cosa dice il teorema degli orlati, questo lo avevo suggerito anche in un altro post.
$\{(kx + y + z = 2k),(2x+y+2z=-1),(4x-ky+4z=-2):}$
Osserva che la matrice dei coefficienti ha per determinante la quantità: $2k^2+2k-4=0$, le cui soluzioni sono $k_1=-2$ e $k_2=1$.
A) Questo sistema per $k!=-2$ e $k!=1$ ammette un'unica soluzione.
B) Per $k=-2$ ammette $oo^1$ soluzioni.
C) per $k=1$ è impossibile.
Se poi quella che hai scritto è la matrice associata ad un sistema omogeneo, allora bisogna modificare le conclusioni.
Mi limito a farti notare che per calcolare il rango di una matrice parametrica, non devi seguire la strada di estrarre tutti i minori di un certo ordine e poi calcolare il determinante e infine confrontare i valori trovati. Mi pare che leggendo il post velocemente ho visto una sorta di scaletta e non va proprio bene.
Se ti assegnano una matrice $4x6$ parametrica, da essa puoi estrarre $15$ matrici di ordine $4$. Può un umano infliggere una punizione di farti calcolare $15$ determinanti di ordine $4$?
Devi rivedere un pochino cosa dice il teorema degli orlati, questo lo avevo suggerito anche in un altro post.
"clever":
1. prendo tutti i minori con il parametro, e calcolo l'orlato di ogni minore.
no, rileggi meglio...devi cercare di trovare un minore con determinante non nullo sempre, indipendentemente da qualsiasi parametro
"weblan":
Credo che questo esercizio vada riguardato. Ti riferisci alle soluzioni del sistema parametrico che segue?
$\{(kx + y + z = 2k),(2x+y+2z=-1),(4x-ky+4z=-2):}$
Osserva che la matrice dei coefficienti ha per determinante la quantità: $2k^2+2k-4=0$, le cui soluzioni sono $k_1=-2$ e $k_2=1$.
A) Questo sistema per $k!=-2$ e $k!=1$ ammette un'unica soluzione.
B) Per $k=-2$ ammette $oo^1$ soluzioni.
C) per $k=1$ è impossibile.
Se poi quella che hai scritto è la matrice associata ad un sistema omogeneo, allora bisogna modificare le conclusioni.
Mi limito a farti notare che per calcolare il rango di una matrice parametrica, non devi seguire la strada di estrarre tutti i minori di un certo ordine e poi calcolare il determinante e infine confrontare i valori trovati. Mi pare che leggendo il post velocemente ho visto una sorta di scaletta e non va proprio bene.
Se ti assegnano una matrice $4x6$ parametrica, da essa puoi estrarre $15$ matrici di ordine $4$. Può un umano infliggere una punizione di farti calcolare $15$ determinanti di ordine $4$?
Devi rivedere un pochino cosa dice il teorema degli orlati, questo lo avevo suggerito anche in un altro post.
ok allora scusa potresti darmi la soluzione esatta di questo esercizio, considerato che la domanda è:
1)scrivere i valori di k per cui il rango della matrice completa del sistema è massimo
2)per quali k il sistema ammette infinito soluzioni esplicitando queste soluzioni.
grazie, se puoi motivami anche le risposte perchè io nn riesco a capirci nulla
ok allora scusa potresti darmi la soluzione esatta di questo esercizio, considerato che la domanda è:
1)scrivere i valori di k per cui il rango della matrice completa del sistema è massimo
2)per quali k il sistema ammette infinito soluzioni esplicitando queste soluzioni.
grazie, se puoi motivami anche le risposte perchè io nn riesco a capirci nulla
Allora la mia intuizione era giusta. Mi confermi che si tratta di quel sistema parametrico di $3$ equazioni in $3$ incognite che ho scritto prima?
1)scrivere i valori di k per cui il rango della matrice completa del sistema è massimo
Si evince dalla risposta data sul sistema, $AAk!=-2$ e il rango risulta $3$.
2)per quali k il sistema ammette infinito soluzioni esplicitando queste soluzioni.
Come dicevo per $k=-2$ il sistema ammette $oo^1$ soluzioni esse sono le terne di questo tipo:
$S={((3-h)/4,-(5+3h)/2,h)$ con $hinRR}$
ok grazie mille, quindi in pratica siccome in entrambi i minori di ordine 3 mi viene fuori ke per k diverso da -2 il sist ha rango 3, quello essendo il valore che si trova in tutti e due i determinante che ho annullato è il risultato giusto, se per esempio avessi trovato in entrambi il risultato di k=0 allora era quello perchè è il risultato comune. giusto?
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