Vare rango massimo di una matrice

[MR b]

scusate ma non riesco proprio a capire come posso trovare il rango massimo di una matrice con parametro k, per es se la matrice è questa:
1 k 2k 0
1 2 -1 0
k -4 2 0
1 -k -4 0

dove l'ultima colonna rapprresenta i termini noti del sistema, potreste spiegarmi passo passo come fare?
e se la colonna dei termini noti non è con tutti zeri, cioè il sistema non è omogeneo cambia qualcosa sul procedimento?
grazie

[weblan]

"MR b":ok grazie mille, quindi in pratica siccome in entrambi i minori di ordine 3 mi viene fuori ke per k diverso da -2 il sist ha rango 3, quello essendo il valore che si trova in tutti e due i determinante che ho annullato è il risultato giusto, se per esempio avessi trovato in entrambi il risultato di k=0 allora era quello perchè è il risultato comune. giusto?

Più che il sistema sarebbero le due matrici, completa e incompleta, ad avere rango $3$.

Io credo che tra $k=0$ e $k=3$ non esiste differenza.

Bisogna precisare alcune cose:


A) Trovare il rango di una matrice parametrica di ordine qualsiasi.

B) Risolvere un sistema parametrico di $m$ e quazioni in $n$ incognite.


A) e B) ho l'impressione, anche se in comune c'è il calcolo del rango, che sono due questioni nettamente distinte.

Mi pare di capire che tu sei interessato più alla seconda che alla prima.

Vuoi sapere come io affronto la questione relativamente alla seconda condizione B)

a) Gauss-Jordan. Scrivo la matrice completa, una sola matrice, e applico il procedimento di Gass-Jordan; faccio molta attenzione quando scelgo il pivot e nel caso sono obbligato a scegliere un pivot che dipende dal parametro lo impongo diverso da $0$ e procedo. Alla fine discuto i casi particolari, relativi ai valori che annullano gli eventuali pivot, scrivendo la matrice al passo dove ho imposto il pivot diverso da $0$ e applicando a questo punto il procedimento di Gauss-Jordan a una matrice numerica
OSSERVAZIONI Il metodi di Gauss-Jordan è noioso, ma potente e efficace anche quando le equazioni e le variabili sono in numero "poco umano".


b) Cramer. Mi scivo la matrice $A$ incompleta, di lato a destra scrivo la matrice $B$ completa e poi mi dedico al calcolo del rango della matrice incompleta. Mi prendo un minore di ordine massimo a caso estraibile da tale matrice e prego che abbia determinante dipendente da k.
Impongo tale determinante diverso da $0$, per tali valori anche la matrice completa ha rango pari al minore di ordine massimo scelto, il sistema sarà compatibile è uso Cramer. Infine discuto i casi particolari e controllo il rango della matrice completa. Si potrebbe obbiettare che quando scelgo il minore di ordine massimo potrebbe essere nullo, per questo ho detto prego, allora dovrei scegliere un altro minore oppure se voglio andare sul sicuro inizio ad orlare dal basso la matrice incompleta. Ma anche quì non si possono dare delle linee rigide da seguire. Perchè? Ammettiamo che mi venga assegnato un sistema di $4$ equazioni in $3$ variabili parametrico, in questo caso si va dritti a scrivere la matrice completa che sarà $4x4$ e calcolare il determinante e per i valori che non annullano tale determinante il rango della completa sarà $4$ e la matrice incompletà, che bello, può avere rango al massimo $3$ e il sistema sarà incompatibile, poi si studiano i casi particolari.
OSSERVAZIONI Cramer può sembrare apparentemente carino, ma se mi assegnano sistema con un numero di equazioni e variabili "poco umano", avendo contatto con i determinanti, butto la spugna prima di entrare in campo.

Per risolvere un sistema bisogna sì conoscere la teoria e i relativi teoremi, ma la miglior medicina è l'esercizio.