Valori di K tali che due rette sono parallele

[Hornet345]

Ciao a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
Date le rette r : x+ky+k= 0 ed s: kx+y+k= 0 determinare per quali valori di k le rette sono parallele

Ho impostato il seguente sistema lineare parametrico in due incognite:

x+ky+k=0
kx+y+k=0

da cui ottengo:

-kx-k^2y-k^2=0
kx+y+k=0

e

x+ky+k=0
y(1-k^2)+(1-k^2)=0

x=k
y=0

il risultato del libro è k=-1 e k=1 (rette coincidenti)

non capisco come ci posso arrivare, da x=k
Grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Per avere il parallelismo tra le due rette, è sufficiente richiedere che il determinante della matrice del sistema sia nullo, cioè basta richiedere che

$|(1,k),(k,1)|=0$

cioè

$1-k^2=0 Rightarrow k^2=1 Rightarrow k_{1,2}=pm1$

Saluti.

[Hornet345]

Grazie!

[Sk_Anonymous]

Di nulla, è stato un piacere.

Saluti.

[Hornet345]

Ciao,
scusami ma il determinante nullo non comporta che il sistema ha infinite soluzioni?

[Sk_Anonymous]

"Hornet345":Ciao,
scusami ma il determinante nullo non comporta che il sistema ha infinite soluzioni?

Chiarisco.

Il sistema era dato da

${(x+ky+k=0),(kx+y+k=0):} Rightarrow {(x+ky=-k),(kx+y=-k):}$

Applicando, ad esempio, la regola di Cramer, effettivamente, si otterrebbe

$Delta=|(1,k),(k,1)|=1-k^2$

$Delta_x=|(-k,k),(k,1)|=k(k-1)$

$Delta_y=|(1,-k),(k,-k)|=k(k-1)$

Quindi la soluzione sarebbe data da

${(x=Delta_x/Delta),(y=Delta_y/Delta):}$

Per $k!=pm1$ il problema ammetterebbe unica soluzione, perchè si avrebbe $Delta!=0$; quindi le due rette sarebbero incidenti.
Per $k=-1$ il sistema risulterebbe essere privo di soluzioni ($Delta=0,Delta_x=Delta_y!=0$); è il caso delle rette parallele, ma distinte.
Per $k=1$ il sistema risulterebbe ammettere infinite soluzioni ($Delta=Delta_x=Delta_y=0$); è il caso delle rette parallele e coincidenti.

Saluti.

[Hornet345]

Grazie 1000!

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Saluti.