Valori di K per cui il Sistema Lineare ha soluzione

[teojoker18]

Ciao, a tutti, mi sono imbattuto in questo sistema lineare:

$ Kx1-2x2-2x3-(K-1)x4 = -K^2+K $
$ 2Kx1-3x2-3x3-(2K-2)x4 = -2K^2+2K+1 $
$ 4Kx1-5x2-5x3-(3K-3)x4 = -3K^2+4K+2 $

e mi chiede per quali valori di $ K in R $ il sistema è risolubile

qualcuno mi può dare una mano per favore?

Grazie

[Clorinda1]

"teojoker18":Ciao, a tutti, mi sono imbattuto in questo sistema lineare:

$ Kx1-2x2-2x3-(K-1)x4 = -K^2+K $
$ 2Kx1-3x2-3x3-(2K-2)x4 = -2K^2+2K+1 $
$ 4Kx1-5x2-5x3-(3K-3)x4 = -3K^2+4K+2 $

e mi chiede per quali valori di K appartenente a R il sistema è risolubile

qualcuno mi può dare una mano per favore?

Grazie

Ti consiglierei di utilizzare il teorema di Rouché Capelli che afferma che un sistema è risolubile se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa (credo che si possa anche chiamare "orlata").
Bisogna quindi calcolare il rango di
\(\displaystyle A=\begin{bmatrix} k & -2 &-2 & -(k-1) \\
2k & -3 & -3&(2k-2)\\
4k &-5 &-5& -(3k-3) \end{bmatrix} \) e di
\(\displaystyle A|b=\begin{bmatrix} k & -2 &-2 & -(k-1) & -k^2+k\\
2k & -3 & -3&(2k-2) & -2k^2+2k+1\\
4k &-5& -5& -(3k-3)&-3k^2+4k+2 \end{bmatrix} \)
e poi compararli...

[teojoker18]

anche io avevo pensato di utilizzare questo teorema (intanto grazie per la risposta).

Ma se io riduco la matrice arrivo ad avere una colonna (la prima) di tutti 0

[Clorinda1]

"teojoker18":anche io avevo pensato di utilizzare questo teorema (intanto grazie per la risposta).

Ma se io riduco la matrice arrivo ad avere una colonna (la prima) di tutti 0

Ok, il rango di una matrice ridotta è uguale al numero di righe non identicamente nulle, quindi prova a vedere quali sono i valori di \(\displaystyle k \) che annullano le tue righe, nella matrice ridotta.
Poi fai la stessa cosa sulla matrice completa.

[teojoker18]

io trovo ke per $ K= 1 $ il rango della matrice sia ridotta che completa è uguale a 2 e per Rouchè-Capelli ho n-p soluzioni, cioè 3-2 = 1 , e per $ K != 1 $ il rango è 3

Ho fatto i conti giusti?

[Clorinda1]

"teojoker18":io trovo ke per $ K= 1 $ il rango della matrice sia ridotta che completa è uguale a 2 e per Rouchè-Capelli ho n-p soluzioni, cioè 3-2 = 1 , e per $ K != 1 $ il rango è 3

Ho fatto i conti giusti?

Direi di sì, le soluzioni sono:
$x_1=2$
$x_2=1-1\cdot \nu_{1}$
$x_3=\nu_{1}$
$x_4=nu_{2}$
quindi come previsto ci sono $\infty^{2}$ soluzioni.

[teojoker18]

Perfetto, grazie infinite x l'aiuto