Valori di $dim(UnnW)$

[shiva28]

Siano $U$ e $W$ due sottospazi di $mathbb(R)^7 $ entrambi di dimensione $5$.
Quali valori può assumere $dim(UnnW)$?


$(1)$
Se la base di $U$ non è combinazione lineare degli elementi della base di $W$, vuol dire che la dimensione di $(U+W)$ è $7$. Ovvero affianco la base di $U$ con quella di $W$, per un totale di $7$ vettori linearmente indipendenti (che sono una base di $mathbb(R)^7 $).


$(2)$
Mentre se $U$ e $W$ coincidono, hanno la stessa base e quindi la dimensione di $(U+W)$ è $5$.


Dalla formula di Grassmann ricavo $dim(UnnW)$ nei due casi:

$(1) \ \ \ \ \ dim(UnnW)=0$

$(2) \ \ \ \ \ dim(UnnW)=5$


E' corretto dire che $\ \ \ \ 0<=dim(UnnW)<=5 \ \ \ \ \ \?$

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Siccome $U$ e $W$ sono sottospazi vettoriali di $RR^7$ aventi entrambi dimensione pari a cinque, dovrebbe essere logico ritenere che

$5<=dim(U+W)<=7$

quindi, in virtù della formula di Grassmann, si dovrebbero presentare solamente i tre casi seguenti:

1) $dim(U+W)=5 Rightarrow dim(UnnW)=5$

2) $dim(U+W)=6 Rightarrow dim(UnnW)=4$

3) $dim(U+W)=7 Rightarrow dim(UnnW)=3$

Sbaglio?

Saluti.

[shiva28]

"alessandro8":Ciao.

Siccome $ U $ e $ W $ sono sottospazi vettoriali di $ RR^7 $ aventi entrambi dimensione pari a cinque, dovrebbe essere logico ritenere che

$ 5<=dim(U+W)<=7 $

quindi, in virtù della formula di Grassmann, si dovrebbero presentare solamente i tre casi seguenti:

1) $ dim(U+W)=5 Rightarrow dim(UnnW)=5 $

2) $ dim(U+W)=6 Rightarrow dim(UnnW)=4 $

3) $ dim(U+W)=7 Rightarrow dim(UnnW)=3 $

Sbaglio?

Saluti.

Mi sembra corretto il tuo ragionamento.

La massima dimensione dello spazio somma è 7, quindi la dimensione minima dell'intersezione è 3.

in definitiva la soluzione sarebbe

$3≤dim(UnnW)≤5$

[Sk_Anonymous]

Dovrebbe essere così.

Saluti.

[shiva28]

Ti ringrazio

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Saluti.