Urgente: Riduzione di matrice

[andriy84-votailprof]

Ho questa matrice 5x3:

$A=((1-h, 0, h-1),(1,-1,0),(0,1,-1),(-h,0,h),(0,0,0))$

Riducendo (con il metodo del perno) e togliendo l'ultima riga (è lecito farlo?) ottengo:

$((1-h, 0, h-1),(0,h-1,1-h),(0,1-h,1-h),(0,0,h-1))$

Continuo, escludendo $h!=1$ e scegliendo come perno h-1 della seconda riga e colonna:

$((1-h, 0, h-1),(0,h-1,1-h),(0,0,-2h^2+4h-2),(0,0,h^2-2h+1))$

Adesso volevo porvi queste domande:

1) A questo punto della riduzione devo scegliere $-2h^2+4h-2$ come nuovo perno (annullando di conseguenza $h^2-2h+1$ e quindi l'ultima riga) o devo lasciare la matrice così com'è senza apportare altre riduzioni per trovare il rango della matrice?

2) Se scelgo $-2h^2+4h-2$ come nuovo perno, ottengo come rango $rho$A=3 (sempre nel caso con $h!=1$). In questo caso, si può dire che la funzione f, la cui matrice associata è A, è iniettiva?

3) Se non scelgo $-2h^2+4h-2$ come nuovo perno, il rango $rho$A=4 ? In quest'ultimo caso, è corretto affermare che la dimImf è uguale a 4 ?

Spero che mi possiate rispondere. Grazie

[_prime_number]

La riga nulla la puoi levare, certo. Ma solo per calcolare il rango se si tratta di applicazioni lineari

Stavo osservando che c'è un modo più semplice di risoluzione:
Se osservi la 1° riga è somma della 2° , della 3° e della 4°. Quindi puoi levarla. Dopo di che rimandendo una matrice 3x3 puoi anche fare direttamente il calcolo, sono tutti 1 e 0.

Per quanto riguarda f da dove a dove è definita?

Paola

[andriy84-votailprof]

Innanzi tutto permettimi di rigraziarti per avermi gentilmente risposto.

Ti riporto il testo intero dell'esercizio:

Sia V il sottospazio di $R^5$ generato dai vettori
v1 = (1, 1, 0, 0, 0), v2 = (1, 0, 1, 0, 0), v3 = (1, 0, 0, 1, 0), v4 = (−2, 0, 0, 0, 1) e sia W = {av1 + bv2 + cv3 + dv4 | a + b + c + d = 0}

1) Studiare, al variare del parametro reale h, l’applicazione lineare f : $R^3$ --> V definita dalla
legge
f (x, y, z) = (x − y)v1 + (y − z)v2 + h(z − x)v3.

2) Determinare Im f intersezione W al variare di h (che fa parte del post "intersezione" a cui hai risposto)

1)Come mi hai fatto notare, la 1° riga della matrice in questione (che è, o dovrebbe essere se non ho fatto male i conti, quella associata alla legge f) è somma della 2° , della 3° e della 4° riga quindi posso eliminarla ottenendo una 3x3. A questo punto si trova che il rango di suddetta matrice è 2, che non corrisponde al rango = 3 che avevo trovato con la mia riduzione (riferimento alla domanda due del post iniziale). Dov'è che sto sbagliando?

2) Nel secondo post mi chiedevo come fare l'intersezione tra Imf e W. Tu mi hai scritto che devo fare il sistema tra l'equazione cartesiana di Imf e l'equazione di W. Ora qual'è l'equazione di W e come faccio ad ottenere l'equazione cartesiana di Imf?

Grazie ancora Tantissimo

Andrea