Urgente: dimostrazioni su matrici di cambiamento di base e invertibilità

[teopd]

Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi con queste tre dimostrazioni (che per me son simili )?
1) Dimostrare che una matrice di cambiamento di base è invertibile
2) Dimostrare che ogni matrice invertibile è una matrice di cambiamento di base
3) Dimostrare che la matrice associata ad un isomorfismo è una matrice invertibile

Allora per la prima ho pensato che per costruzione le colonne della matrice di cambiamento di base non sono altro le n-uple di n vettori linearmente indipendenti e quindi si ha che le colonne sono linearmente indipendenti e quindi la matrice ha rango massimo, perciò ha determinate diverso da zero e quindi invertibile.

Per la seconda e la terza onestamente non so come procedere.

Grazie per l'aiuto!

[wolfinthewild]

non sono molto esperto ma per la 2 mi viene da riavvolgere il tuo ragionamento ovvero
Se una matrice di n vettori è invertibile ha det diverso da zero quindi il rango è n quindi gli n vettori delle colonne sono linearmente indipendenti come la matrice di cambiamento di base
sbaglio?

[teopd]

"wolfinthewild":non sono molto esperto ma per la 2 mi viene da riavvolgere il tuo ragionamento ovvero
Se una matrice di n vettori è invertibile ha det diverso da zero quindi il rango è n quindi gli n vettori delle colonne sono linearmente indipendenti come la matrice di cambiamento di base
sbaglio?

Eh guarda non ne ho idea, cioè il ragionamento sembra giusto.
Il problema è che non trovo tali dimostrazioni da nessuna parte!

[teopd]

"Sergio":[quote="teopd"]1) Dimostrare che una matrice di cambiamento di base è invertibile [...]
Allora per la prima ho pensato che per costruzione le colonne della matrice di cambiamento di base non sono altro le n-uple di n vettori linearmente indipendenti e quindi si ha che le colonne sono linearmente indipendenti e quindi la matrice ha rango massimo, perciò ha determinate diverso da zero e quindi invertibile.

Direi che ci sei. Le colonne di una matrice di cambiamento di base non sono però vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale (se hai uno spazio vettoriale di matrici o polinomi, non costruisci una matrice di matrici o polinomi), sono le coordinate degli elementi di una base (che sono vettori l.i.) rispetto a un'altra.
Le coordinate sono vettori di \(\mathbb{R}^n\). Dato l'isomorfismo tra un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione \(n\) e \(\mathbb{R}^n\), le coordinate di \(n\) vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) sono \(n\) vettori di \(\mathbb{R}^n\) linearmente indipendenti.
Se \(v_1,\dots,v_n\) sono \(n\) vettori e \(x_1,\dots,x_n\) sono i vettori delle loro coordinate, se cioè \(x_i=\text{Coord}(v_i)\), si ha che se \(a_1v_1+\dots+a_nv_n=0\) solo se \(a_i=0\) per ogni \(i\), si ha anche \(a_1x_1+\dots+a_nx_n=0\) solo se \(a_i=0\) per ogni \(i\), in quanto \(x_i=\text{Coord}(v_i)\) e \(v_i=\text{Coord}^{-1}(v_i)\).

"teopd":2) Dimostrare che ogni matrice invertibile è una matrice di cambiamento di base

Se una matrice quadrata di ordine \(n\) è invertibile, le sue \(n\) colonne sono linearmente indipendenti e costituiscono pertanto una base di \(\mathbb{R}^n\).
Dato che:
a) le colonne di una matrice di cambiamento di base sono le coordinate rispetto alla base d'arrivo degli elementi della base di partenza;
b) le coordinate di vettori di \(\mathbb{R}^n\) rispetto alla base canonica sono uguali ai vettori;
una qualsiasi matrice invertibile è una matrice di conversione dalla base costituita dalle sue colonne alla base canonica.

"teopd":3) Dimostrare che la matrice associata ad un isomorfismo è una matrice invertibile

Si potrebbe dire semplicemente che, essendo un isomorfismo invertibile, non può che essere invertibile anche qualsiasi matrice associata. Volendo farla un po' più lunga...
Se \(f:V\to W\) è un isomorfismo:
a) \(f\) è iniettiva: per ogni \(w\in f(V)\subseteq W\) esiste un solo \(v\in V\) tale che \(f(v)=w\);
b) \(f\) è suriettiva: \(f(V)=W\), qundi per ogni \(w\in W\) esiste almeno un \(v\in V\) tale che \(f(v)=w\).
Mettendo insieme: per ogni \(w \in W\) esista uno e un solo \(v\in V\) tale che \(f(v)=w\).
La matrice \(A\) associata a \(f\) rispetto a due basi \(B\) per \(V\) e \(C\) per \(W\) deve quindi essere tale che, per ogni \(w\in W\) diverso dal vettore nullo esiste uno e un solo \(v\in V\) non nullo tale che \(A\text{Coord}_B(v)=\text{Coord}_{C}(w)\).
Una tale matrice deve essere ovviamente quadrata, perché le immagini degli elementi \(b_i\) di \(B\) sono linearmente indipendenti (se non lo fossero, \(a_1w_1+\dots+a_nw_n=0\) con \(w_i=f(b_i\) e \(a_i\) non tutti nulli, si avrebbe \(f(a_1b_1+a_nb_n)=0\) con \(a_i\) non tutti nulli, ma, se \(f\) è iniettiva, se cioè il vettore nullo ha un'unica controimmagine, ciò implicherebbe \(a_1b_1+a_nb_n=0\) con \(a_i\) non tutti nulli, cioè i \(b_i\) non potrebbero formare una base di \(V\)), mentre immagini di vettori linearmente dipendenti di \(V\) non possono che essere linearmente dipendenti (se \(a_1v_1+a_2v_2=0\) anche con \(a_1\ne 0\) e/o \(a_2\ne 0\), deve aversi \(a_1w_1+a_2w_2=0\) con \(w_i=f(v_i)\) e gli stessi \(a_i\)). Quindi \(V\) e \(W\) hanno la stessa dimensione.
Inoltre, una tale matrice ha nucleo \(\{0\}\), quindi è invertibile.

PS: Se non avessi scritto "urgente" nel titolo ti avrei risposto prima.[/quote]

Grazie mille!