Un'omotopia
Cari amici! Trovo sul mio testo, il Sernesi, il seguente lemma (Geometria II, 15.3):
dove $f,g,h,k$ sono archi tali che \(\mathbf{I}\to X\), \(f^0(s)=f(1-s)\), \(f\ast g\) è il prodotto dell'arco $f$ per l'arco $g$, e l'equivalenza è l'omotopia relativa a \(\{0,1\}\).
Per dimostrare l'omotopia \(G:f^0\ast h\ast g\simeq_{\text{rel}\{0,1\}}k\) il mio testo, ponendo \(x_0=k(0)\) e \(x_1=k(1)\) utilizza l'applicazione \(G:\mathbf{I}×\mathbf{I}\to X\) così definita\[G(s,t)=\begin{cases}x_0&0\leq s\leq t/3 \\f(1+t-3s)&t/3\leq s\leq 1/3\\E(3s-1,t)&1/3\leq s\leq2/3\\g(t+3s)&1/3\geq1-s\geq t/3 \\x_1&1-s\leq t/3 \end{cases}\]
ma in questo modo non mi tornano i conti... Non dovrebbe essere, per \(1/3\geq1-s\geq t/3\), \(G(s,t)=g(t+3s-2)\)? In questo modo mi sembrerebbe sì di avere \(G(s,0)\simeq_{\text{rel}\{0,1\}} f^0\ast h\ast g\) e \(G(s,1)\simeq_{\text{rel}\{0,1\}} c_{x_0}\ast k\ast c_{x_1}\) con \(c_{x_i}(s)\equiv x_i\) applicazione costante...
Grazie di cuore a tutti quanti!
Sia $X$ uno spazio topologico e $E:\mathbf{I}×\mathbf{I}\toX$ un'applicazione continua. Poniamo \(f(t)=E(0,t),g(t)=E(1,t)h(s)=E(s,0),k(s)=E(s,1)\). Allora:\[f^0\ast h\ast g\simeq_{\text{rel}\{0,1\}}k\]
dove $f,g,h,k$ sono archi tali che \(\mathbf{I}\to X\), \(f^0(s)=f(1-s)\), \(f\ast g\) è il prodotto dell'arco $f$ per l'arco $g$, e l'equivalenza è l'omotopia relativa a \(\{0,1\}\).
Per dimostrare l'omotopia \(G:f^0\ast h\ast g\simeq_{\text{rel}\{0,1\}}k\) il mio testo, ponendo \(x_0=k(0)\) e \(x_1=k(1)\) utilizza l'applicazione \(G:\mathbf{I}×\mathbf{I}\to X\) così definita\[G(s,t)=\begin{cases}x_0&0\leq s\leq t/3 \\f(1+t-3s)&t/3\leq s\leq 1/3\\E(3s-1,t)&1/3\leq s\leq2/3\\g(t+3s)&1/3\geq1-s\geq t/3 \\x_1&1-s\leq t/3 \end{cases}\]
ma in questo modo non mi tornano i conti... Non dovrebbe essere, per \(1/3\geq1-s\geq t/3\), \(G(s,t)=g(t+3s-2)\)? In questo modo mi sembrerebbe sì di avere \(G(s,0)\simeq_{\text{rel}\{0,1\}} f^0\ast h\ast g\) e \(G(s,1)\simeq_{\text{rel}\{0,1\}} c_{x_0}\ast k\ast c_{x_1}\) con \(c_{x_i}(s)\equiv x_i\) applicazione costante...
Grazie di cuore a tutti quanti!
Risposte
Hai verificato che
\[
\begin{split}
G(s,0)&=(f*g*h)(s) \\
G(s,1)&=k(s) \\
G(0,t)&=k(0) \vee (f*g*h)(0) \\
G(1,t)&=k(1) \vee(f*g*h)(1) \mbox{?}
\end{split}
\]
Assieme alla continuità di \(G\) è la condizione che ne fa una omotopia fra \(f^{0}*h*g\) e \(k\). Dovresti avere definito come prodotto:
\[
(f^{0}*h*g)(s)=
\begin{cases}
f(1-s) &\mbox{ se }x \in [0,1/3] \\
h(s) &\mbox{ se }x \in [1/3,2/3] \\
g(s) &\mbox{ se }x \in [2/3,1]
\end{cases}
\]
Altrimenti hai queste corrispondenze fra i lati del quadrato di definizione di \(H\) e i vari cammini
\[
\begin{split}
0\times[0,1]&\rightarrow f(t) \\
[0,1]\times 1&\rightarrow k(s) \\
1\times [0,1]&\rightarrow g(t) \\
[0,1]\times 0&\rightarrow h(s)
\end{split}
\]
Se vuoi ricavare \(G\) in modo intuitivo mi sembra che possa aiutare la costruzione di una omotopia fra parametri fra i lati associati agli altri cammini con il lato di \(k(s)\).
\[
\begin{split}
G(s,0)&=(f*g*h)(s) \\
G(s,1)&=k(s) \\
G(0,t)&=k(0) \vee (f*g*h)(0) \\
G(1,t)&=k(1) \vee(f*g*h)(1) \mbox{?}
\end{split}
\]
Assieme alla continuità di \(G\) è la condizione che ne fa una omotopia fra \(f^{0}*h*g\) e \(k\). Dovresti avere definito come prodotto:
\[
(f^{0}*h*g)(s)=
\begin{cases}
f(1-s) &\mbox{ se }x \in [0,1/3] \\
h(s) &\mbox{ se }x \in [1/3,2/3] \\
g(s) &\mbox{ se }x \in [2/3,1]
\end{cases}
\]
Altrimenti hai queste corrispondenze fra i lati del quadrato di definizione di \(H\) e i vari cammini
\[
\begin{split}
0\times[0,1]&\rightarrow f(t) \\
[0,1]\times 1&\rightarrow k(s) \\
1\times [0,1]&\rightarrow g(t) \\
[0,1]\times 0&\rightarrow h(s)
\end{split}
\]
Se vuoi ricavare \(G\) in modo intuitivo mi sembra che possa aiutare la costruzione di una omotopia fra parametri fra i lati associati agli altri cammini con il lato di \(k(s)\).
\(\infty\) grazie!!! Definendo $G$ così:\[G(s,t)=\begin{cases}x_0&0\leq s\leq t/3 \\f(1+t-3s)&t/3\leq s\leq 1/3\\E(3s-1,t)&1/3\leq s\leq2/3\\g(t+3s-2)&1/3\geq1-s\geq t/3 \\x_1&1-s\leq t/3 \end{cases}\]sì, mi torna tutto. Definendola come fa il libro, mi pare che con quel \(g(t+3s)\) non ci siamo, noto un'incompatibilità con il dominio di definizione di $g$... o sbaglio?
Grazie ancora!!!
Grazie ancora!!!
Ok. Dimmi quale di queste
rispetto alle formule come le hai scritte tu non ti torna così provo a calcolarla anch'io, sono pigro e non voglio verificarle tutte. Se ho capito cosa vuoi dire.
Per quanto riguarda i domini di definizione io quella omotopia non l'ho capita tanto. Dovrebbe essere definita in \(I\times I\) quindi prendiamo ad esempio il punto \((1,1)\in I\times I\). Sostituendo in \(G(s,t)\) trovo alla prima riga la disuguaglianza \(0\leq 1\leq 1/3\).
\[
\begin{split}
G(s,0)&=(f*g*h)(s) \\
G(s,1)&=k(s) \\
G(0,t)&=k(0) \vee (f*g*h)(0) \\
G(1,t)&=k(1) \vee(f*g*h)(1) \mbox{?}
\end{split}
\]
rispetto alle formule come le hai scritte tu non ti torna così provo a calcolarla anch'io, sono pigro e non voglio verificarle tutte. Se ho capito cosa vuoi dire.
Per quanto riguarda i domini di definizione io quella omotopia non l'ho capita tanto. Dovrebbe essere definita in \(I\times I\) quindi prendiamo ad esempio il punto \((1,1)\in I\times I\). Sostituendo in \(G(s,t)\) trovo alla prima riga la disuguaglianza \(0\leq 1\leq 1/3\).
"5mrkv":
Dovrebbe essere definita in \(I\times I\) quindi prendiamo ad esempio il punto \((1,1)\in I\times I\).
Un attimo: se $t=1$ la prima riga definisce $G$ solo per \(0\leq s\leq 1/3\), ci sono? Per \((s,t)=(1,1)\) hai che \(1-s\leq t/3\) e quindi \(G(1,1)=x_1\). O sbaglio?
Il problema me lo causa quel \(g(t+3s)\) che dovrebbe valere per (riesprimo l'intervallo di definizione con $s$ "in mezzo") \(2/3\leq s\leq 1-t/3\). Per esempio, se $t=0$, ho un'applicazione \(g(3s)\) definita su \([2/3,1]\)... ma su \([2,3]\) l'arco $g$ non è neppure definito come applicazione...
Grazie ancora, 5mrkv!!!
P.S.: Povero avatar...
"DavideGenova":
Un attimo: se $t=1$ la prima riga definisce $G$ solo per \(0\leq s\leq 1/3\), ci sono? Per \((s,t)=(1,1)\) hai che \(1-s\leq t/3\) e quindi \(G(1,1)=x_1\). O sbaglio?
Scemo io. Sono solito vedere le condizioni miste definite esplicitamente su plurirettangoli
Il problema me lo causa quel \(g(t+3s)\) che dovrebbe valere per (riesprimo l'intervallo di definizione con $s$ "in mezzo") \(2/3\leq s\leq 1-t/3\). Per esempio, se $t=0$, ho un'applicazione \(g(3s)\) definita su \([2/3,1]\)... ma su \([2,3]\) l'arco $g$ non è neppure definito come applicazione...
Grazie ancora, 5mrkv!!!
Ponendo \(t=0\) anche io ricavo la stessa disuguaglianza e capisco cosa vuoi dire. Cambiando la funzione come hai fatto tu \(g\) viene ben definita. Se sei sicuro che l'omotopia così sia corretta allora ok. Altrimenti se non lo hai già fatto prova a ricavarla tu. Traccia le suddivisioni del quadrato seguendo le condizioni del dominio di \(G(s,t)\). Poi, considera i cammini \(f_{0}(s)=(0,s),f_{1}(s)=(s/3,1)\) come applicazioni \(f_{0},f_{1}:I\rightarrow I\times I\). Usa l'omotopia della linea retta per trasformare l'uno nell'altro
\[
F(s,t)=f_{0}(s)(1-t)+f_{1}(s)t
\]
In questo modo tutto il dominio di \(f\) diventa la prima parte del dominio di \(k\) (se ho scritto bene le corrispondenze nell'altro post). Ora penso si componga la funzione \(f\) con l'omotopia creata per ricavare una delle parti che compongono l'omotopia cercata \(G(s,t)\). Si fa così anche con \(h,g\).
P.S.: Povero avatar...
Grazie di cuore per la tua pazienza e il tuo consiglio, 5mrkv!!!
Correggendo \(g(t+3s)\) in \(g(t+3s-2)\) mi pare decisamente che tutto vada a posto e l'omotopia $G$ sia quella cercata.
Correggendo \(g(t+3s)\) in \(g(t+3s-2)\) mi pare decisamente che tutto vada a posto e l'omotopia $G$ sia quella cercata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo