Uno SV è finitamente generato ssse ha una base finta (?)
La definizione di base di uno spazio vettoriale che ho inizia con le parole: "Una famiglia $(v_i)_{1\le i\le n}$ di vettori di $V$ si dice base se...". Da questo dovrei dedurre che una base è innanzitutto un insieme finito di vettori.
Senonché, poche pagine dopo sul mio quaderno di appunti, trovo questo Teorema:
Uno spazio vettoriale $V$ non banale è finitamente generato se e solo se ha una base finita.
Stando alla definizione, sarebbe stato sufficiente dire "...se e solo se possiede una base". Come la mettiamo?
Senonché, poche pagine dopo sul mio quaderno di appunti, trovo questo Teorema:
Uno spazio vettoriale $V$ non banale è finitamente generato se e solo se ha una base finita.
Stando alla definizione, sarebbe stato sufficiente dire "...se e solo se possiede una base". Come la mettiamo?
Risposte
Esistono spazi vettoriali a dimensione infinita, cioè esistono spazi vettoriali non finitamente generati (la prima terminologia è più comune). In altre parole le basi possono anche avere cardinalità infinita ma forse la definizione che ha usato il libro o il professore si presta male al caso infinito.
Detto questo, uno spazio vettoriale $V$ non banale è finitamente generato se e solo se esiste un insieme di generatori di cardinalità finita. Far riferimento alle basi mi sembra inutile.
Detto questo, uno spazio vettoriale $V$ non banale è finitamente generato se e solo se esiste un insieme di generatori di cardinalità finita. Far riferimento alle basi mi sembra inutile.
Ciao Vict, grazie per la risposta.
Questa è la definizione che possiedo di SV finitamente generato. Quella che ho riportato è una sorta di caratterizzazione.
Questo era quello che volevo leggere
Mi daresti una definizione più generale di base di uno spazio vettoriale qualsiasi?
"vict85":
Detto questo, uno spazio vettoriale $ V $ non banale è finitamente generato se e solo se esiste un insieme di generatori di cardinalità finita.
Questa è la definizione che possiedo di SV finitamente generato. Quella che ho riportato è una sorta di caratterizzazione.
le basi possono anche avere cardinalità infinita
Questo era quello che volevo leggere
Mi daresti una definizione più generale di base di uno spazio vettoriale qualsiasi?
Se non sbaglio dovrebbe essere qualcosa di questo tipo:
Una base è una famiglia di vettori \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) tale che
[list=1][*:1qsck5cm] \(\displaystyle \mathcal{B}\) genera \(\displaystyle V \);[/*:m:1qsck5cm]
[*:1qsck5cm] ogni insieme finito di \(\displaystyle \mathcal{B}\) è composto da vettori linearmente indipendenti. [/*:m:1qsck5cm][/list:o:1qsck5cm]
Ci sono poi alcune proprietà equivalenti. Per esempio il dire che \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se ogni vettore di \(\displaystyle V \) si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B}\). O anche \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se genera \(\displaystyle V \) e nessun suo sottoinsieme proprio genera \(\displaystyle V \). Inoltre vale anche che \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se è massimale rispetto alla indipendente lineare. Le dimostrazioni delle equivalenze non sono difficili.
Una base è una famiglia di vettori \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) tale che
[list=1][*:1qsck5cm] \(\displaystyle \mathcal{B}\) genera \(\displaystyle V \);[/*:m:1qsck5cm]
[*:1qsck5cm] ogni insieme finito di \(\displaystyle \mathcal{B}\) è composto da vettori linearmente indipendenti. [/*:m:1qsck5cm][/list:o:1qsck5cm]
Ci sono poi alcune proprietà equivalenti. Per esempio il dire che \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se ogni vettore di \(\displaystyle V \) si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di \(\displaystyle \mathcal{B}\). O anche \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se genera \(\displaystyle V \) e nessun suo sottoinsieme proprio genera \(\displaystyle V \). Inoltre vale anche che \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se è massimale rispetto alla indipendente lineare. Le dimostrazioni delle equivalenze non sono difficili.
"vict85":
Se non sbaglio dovrebbe essere qualcosa di questo tipo:
Una base è una famiglia di vettori \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) tale che
[list=1][*:1t4kvl6l] \(\displaystyle \mathcal{B}\) genera \(\displaystyle V \);[/*:m:1t4kvl6l]
[*:1t4kvl6l] ogni insieme finito di \(\displaystyle \mathcal{B}\) è composto da vettori linearmente indipendenti. [/*:m:1t4kvl6l][/list:o:1t4kvl6l]
Quindi la definizione rimane inalterata...Grazie
[...] Inoltre vale anche che \(\displaystyle \mathcal{B} = \{v_i \}_{i\in I} \subset V\) è una base se è massimale rispetto alla indipendente lineare. Le dimostrazioni delle equivalenze non sono difficili.
Le altre caratterizzazioni le conosco e le ho dimostrate, ma questa non ho nemmeno idea di cosa voglia dire
"Plepp":
Le altre caratterizzazioni le conosco e le ho dimostrate, ma questa non ho nemmeno idea di cosa voglia dire
Forse vict si riferisce al fatto seguente: se \(S\) e' un set di vettori linearmente indipendenti e succede che
\[S \cup \{v\} \qquad \forall v \in V\]
e' un set di vettori linearmente dipendenti, allora \(S\) e' un base di \(V\).
EDIT: Wiki dice che sul Lang (pg.45 -di quale edizione?) dovresti trovare qualcosa al riguardo, sempre che continui a darti noia la cosa.
Grazie Peppe
"Plepp":
Grazie Peppe
Un piacere
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