Uno strano risultato sui quozienti

[mklplo751]

Salve, avendo finito gli esami del primo anno circa un mese fae non sapendo bene cosa fare, mi sono messo a vedere con calma (e anche grazie alle registrazioni dei prof) alcuni argomenti di Geometria 2. Ora, proprio oggi, mentre vedevo un controesempio del fatto che un quoziente di uno spazio di Hausdorff non è necessariamente T2, mi sono chiesto se valesse questo risultato "Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico connesso e $A$ un sottoinsieme aperto proprio diverso dal vuoto, allora la contrazione di $A$ ( ovvero il quoziente rispetto alla relazione $R$ $xRy<=> x=y vv x,y \in A$)a un punto non è T2 (e in realtà neanche T1)". Come dimostrazione avevo pensato a ciò:

La proiezione al quoziente $\pi$ è un'identificazione, e quindi in particolare è suriettiva e continua, dunque il quoziente è uno spazio connesso. Inoltre poichè se $x \in A$ $\pi(x)=\pi(y)$ se e solo se $y\in A$ allora $A$ e $\pi$-saturo dunque $\pi(A)$ è aperto ed è diverso da tutto lo spazio. Dunque non può essere anche chiuso e dunque lo spazio non è T2 (e neache T1).

La dimostrazione mi sembra filare, tuttavia il risultato mi sembra un po' troppo generale e quindi penso di aver sbagliato qualcosa di molto importante. Se non vi reca disturbo, potreste dirmi se il risultato è vero e se sì se la dimostrazione è corretta.

[mklplo751]

@j18eos:grazie nuovamente per aver risposto e scusa se ti rispondo in ritardo ma stavo ragionando su alcuni punti. Penso di aver capito: in pratica preso un qualunque intorno dello $0$ io posso trovare un aperto, la cui chiusura intersecherà $C$ e dunque passando ai quozienti ottengo che lo spazio non è $T1$. La sola cosa che mi chievo è perchè in questo caso, prendendo al posto di un intervallo, il chiuso $C$ fallisse. Ovvero, io ho che i punti sono chiusi nel quoziente se e solo se lo sono le controimmagini nello spazio di partenza. Se i punti del quoziente non sono la classe di $C$ ciò è immediatamente vero in quanto lo spazio di partenza è $T2$ perchè è una topologia più fine di quella euclidea, se invece prendo la contorimmagine della classe di $C$, ottengo proprio $C$ che è un chiuso e dunque anche il punto deve essere chiuso. Ora uno spazio è $T1$ se e solo se tutti i punti sono chiusi. Dunque veramente non riesco a capire l'errore nel ragionamento.
p.s: negli altri messaggi sulla compattificazione invece, avevo usato più volte il fatto che se $f,g,h$ sono funzioni continue $g$ chiusa e $f$ suriettiva, allora $h$ una funzione tale che $g=h @ f$ è chiusa.

[j18eos]

Mi sono perso per la strada

Questo è un esempio di spazio topologico di Fréchet non di Hausdorff, ottenuto come spazio quoziente di uno spazio di Hausdorff mediante il collasso su un insieme chiuso.

Era l'esempio che cercavi, oppure no?

[mklplo751]

Ah, ok avevo frainteso, pensavo fosse ancora un altro esempio di spazio non $T1$, ok allora devo rivedere un punto. Grazie per la disponibilità e per tutte le risposte.

[mklplo751]

Bene ho rivisto tutto e mi sembra chiaro. Grazie di nuovo.