Uno sp. topologico di Hausdorff separabile ma...

[Sk_Anonymous]

E' vero che ogni spazio topologico di Hausdorff separabile è pure necessariamente numerabile del primo tipo?

[Principe2]

pure questo mi pare facile:

Sia X il nostro spazio topologico. Osservo che poichè X è T2, allora ogni suo sottoinsieme finito è chiuso. Per cui, detto S un sottospazio numerabile denso in X, allora, per ogni sottoinsieme finito I di S, $X-I$ è aperto in X. Considero allora la famiglia ${X-I,IsubsetS,|I|

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[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Sia X il nostro spazio topologico. Osservo che poichè X è T2, allora ogni suo sottoinsieme finito è chiuso.

Sì.

"ubermensch":Per cui, detto S un sottospazio numerabile denso in X, allora, per ogni sottoinsieme finito I di S, $X-I$ è aperto in X.

Sì.

"ubermensch":Considero allora la famiglia ${X-I,IsubsetS,|I|è numerabile e rappresenta una base di X.

Che eresia!!! Ti ricordo che l'insieme delle parti di $\mathbb{N}$ possiede la cardinalità del continuo.

"ubermensch":pure questo mi pare facile

Evidentemente ti sbagli.

[Principe2]

credo che ti sbagli te:
è vero che l'insieme delle parti di N ha la cardinalità del continuo, ma io considero l'insieme delle parti finite di N e questo ha la stessa cardinalità di N. Una dim puoi trovarla in http://www.mat.uniroma1.it/people/manet ... tetopo.pdf pag.20 esempio 2.2.5

[Sk_Anonymous]

Ok, ho prestato scarsa attenzione al fatto che "gli I" fossero insiemi finiti - eppure sta scritto in stampatello! Vabbè... Resta comunque un'altra obiezione:

"ubermensch":Considero allora la famiglia ${X-I,IsubsetS,|I|rappresenta una base di X.

Come fai a dire che quella lì è una base topologica?

[Principe2]

mi pare abbastanza intuitivo.. vediamo un pò:

1) la loro unione è X: basta prendere I e J disgiunti, allora $(X-I)cup(X-J)=X$

2) siano $X-I$, $X-JinB$ (B è la "base"), allora $(X-I)cap(X-J)=X-(IcupJ)inB$. Per cui B è chiuso rispetto all'intersezione, e ciò è una condizione più forte di quella richiesta affinche B sia una base.

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":mi pare abbastanza intuitivo.. vediamo un pò:

1) la loro unione è X: basta prendere I e J disgiunti, allora $(X-I)cup(X-J)=X$

2) siano $X-I$, $X-JinB$ (B è la "base"), allora $(X-I)cap(X-J)=X-(IcupJ)inB$. Per cui B è chiuso rispetto all'intersezione, e ciò è una condizione più forte di quella richiesta affinche B sia una base.

Ehmmm... Come?! Vediamo un attimo... Posto $U_n = \{1, 2, ..., n\}$, se $n$ è un intero positivo, e $U_0 = \emptyset$, ti sentiresti perciò di dire che la famiglia $\{U_n\}_{n \ge 0}$ è una base della topologia discreta di $\mathbb{Z}^+$, solo perché i) $\cup_{n \in \mathbb{N}} U_n = \mathbb{Z}^+$ e ii) $U_m \cap U_n = U_{min(m,n)}$, per ogni $m, n \in \mathbb{N}$?!?

[Principe2]

hai perfettamente ragione... ho detto una gran c****ta!! è una base di un'altra topologia... che erroraccio... se lo sa il mio prof mi ammazza

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":pure questo mi pare facile [...]

Q.e.d.