Unione orbite

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Il mio testo (E. Sernesi, Geometria II, 7.10) dice che, se $X$ è uno spazio topologico, lo spazio quoziente rispetto all'azione del gruppo $G$, cioè \(X/G\), è tale che la proiezione \(p:X\to X/G\) è aperta, "infatti la saturazione rispetto a $p$ di un sottoinsieme $A$ di $X$ è \(\bigcup_{g\in G}gA\); se $A$ è aperto, quest'insieme è aperto".
Ora, ci sono che qualsiasi unione di aperti è un aperto, ma non mi è chiaro perché \(\bigcup_{g\in G}gA\) debba esserlo...
Se lo fosse ogni \(gA\) per ogni \(g\in G\), questa sarebbe una condizione sufficiente, ma non so se sia così...
Qualcuno ne ha un'idea?
Grazie di cuore a tutti!!!

[beltzer]

$ G $, è un gruppo di omeomorfismi, in particolare ogni $ g $ è un omeomorfismo, in particolare, ogni $ g $ è un'applicazione aperta, quindi $ g(A) $ è aperto ogni $ A $ aperto

[DavideGenova1]

Grazie: che rapidità!!!

"beltzer":$ G $, è un gruppo di omeomorfismi

Grande! Non ci avevo pensato perché il testo sembrava parlare di una situazione generale in cui $X$ è un $G$-insieme, ma non un $G$-spazio in cui $g\in\text{Omeo}(X)$. Si vede che in questo caso si sottintende che i $g$ siano omeomorfismi...

Se quindi \(\bigcup_{g\in G}gA\) è aperto, allora, per ogni $A$ aperto in $X$, \(p(A)=p(\bigcup_{g\in G}gA)\) è, per la definizione di topologia quoziente, aperto in \(X/G\), come si voleva dimostrare.
\(\bigcup_{j\in J}\{\text{grazie}\}_j\) con $J$ insieme infinito!