Unione disgiunta, Manetti, esempio 3.10
Ciao. Sia \( \left\{X_i:i\in I\right\} \) una famiglia di spazi. Sia \( X=\coprod_{i\in I}X \) la loro unione disgiunta insiemistica, che intendo come \( X=\coprod_{i\in I}X=\left\{(x,i):\text{$ x\in X_i $ e $ i\in I $}\right\} \).
Manetti - prima di introdurre le funzioni continue - definisce lo spazio unione disgiunta degli \( X_i \) come la coppia \( \left(X,\tau\right) \), dove, verbatim, \( \tau \) è "la topologia meno fine tra quelle che contengono tutte le topologie degli spazi \( X_i \)".
Questa definizione non mi quadra. Ossia, la topologia \( \tau \) su \( X \) così definita è l'intersezione di tutte le topologie \( \rho_j \) (facciamo, indicizzate da un insieme \( J \)) su \( X \) contenenti, ciascuna, tutte le topologie degli spazi \( X_i \). Ogni \( \rho_i \) - di fatto, sottoinsieme di \( \operatorname{P}X \) - contiene tutte le topologie possibili su ogni \( X_i \) - namely, sottoinsiemi di \( \operatorname{P}X_i \).
Come può una topologia di un \( X_i \) - insieme "1-dimensionale" - essere contenuta in una topologia di \( X=\coprod_{i\in I}X \) - di fatto, insieme di coppie -? (In modo informale riesco più o meno ad immaginarmelo, ma mi piacerebbe avere delle conferme
)
Manetti - prima di introdurre le funzioni continue - definisce lo spazio unione disgiunta degli \( X_i \) come la coppia \( \left(X,\tau\right) \), dove, verbatim, \( \tau \) è "la topologia meno fine tra quelle che contengono tutte le topologie degli spazi \( X_i \)".
Questa definizione non mi quadra. Ossia, la topologia \( \tau \) su \( X \) così definita è l'intersezione di tutte le topologie \( \rho_j \) (facciamo, indicizzate da un insieme \( J \)) su \( X \) contenenti, ciascuna, tutte le topologie degli spazi \( X_i \). Ogni \( \rho_i \) - di fatto, sottoinsieme di \( \operatorname{P}X \) - contiene tutte le topologie possibili su ogni \( X_i \) - namely, sottoinsiemi di \( \operatorname{P}X_i \).
Come può una topologia di un \( X_i \) - insieme "1-dimensionale" - essere contenuta in una topologia di \( X=\coprod_{i\in I}X \) - di fatto, insieme di coppie -? (In modo informale riesco più o meno ad immaginarmelo, ma mi piacerebbe avere delle conferme
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Risposte
Immagino che volesse semplificare la vita evitando di usare la continuità delle mappe, ma penso non abbia semplificato molto.
La topologia dell'unione disgiunta è la topologia meno fine che rende continue le iniezioni canoniche degli \(X_i\) in \(X\). Ovvero per cui le \(\iota_i\colon x\mapsto (x,i)\) sono continue.
Questo aspetto può poi essere generalizzato usando una proprietà universale e quindi evitando la costruzione effettiva di \(X\) come insieme di coppie. La proprietà universale la puoi trovare, per esempio, su https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_union_(topology)
Venendo alla definizione del Manetti. Se \(\iota_i\) è continua allora \(\iota_i(A)\) è un aperto per ogni \(A\) aperto di \(X_i\). Questa è la ragione per cui Manetti afferma che \(X\) contiene le topologie degli \(X_i\).
La topologia dell'unione disgiunta è la topologia meno fine che rende continue le iniezioni canoniche degli \(X_i\) in \(X\). Ovvero per cui le \(\iota_i\colon x\mapsto (x,i)\) sono continue.
Questo aspetto può poi essere generalizzato usando una proprietà universale e quindi evitando la costruzione effettiva di \(X\) come insieme di coppie. La proprietà universale la puoi trovare, per esempio, su https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_union_(topology)
Venendo alla definizione del Manetti. Se \(\iota_i\) è continua allora \(\iota_i(A)\) è un aperto per ogni \(A\) aperto di \(X_i\). Questa è la ragione per cui Manetti afferma che \(X\) contiene le topologie degli \(X_i\).
Ti ringrazio, le ultime due righe erano proprio quello che cercavo di formalizzarmi. Quindi Manetti, praticamente, fa questo - tanto per capire: considera la famiglia \( \left\{\rho_j\right\} \) delle topologie su \( X=\coprod_i X_i \) tali che, per ogni \( A \) appartenente ad una qualsivoglia topologia \( \tau_i \) su un \( X_i \), sia \( \iota_i(A)\subset\rho_j \), per ogni \( j \). Poi dà la topologia su \( X \) come l'intersezione delle \( \rho_j \). Cioè ogni \( \rho_j \) contiene tutti gli aperti che sia possibile dare su tutti gli \( X_i \). Che casino!
Sono un po’ arrugginito, o forse ero solo distratto. C’è un errore nel mio precedente massaggio: traducendo dall’inglese e usando il Manetti come base, ho scritto ‘meno fine’ invece di ‘più fine’.
Il fatto che non possa essere la meno fine è piuttosto evidente: la topologia banale su \(X\) rende continue tutte le iniezioni canoniche. Appena mi sono messo a rileggere mi sono accorto dell’assurdità che avevo scritto.
La definizione di Manetti è più costruttiva e dice correttamente che è la meno fine perché non ha richiesto la continuità delle iniezioni ma che i \(\iota_i(V)\), \(V\) aperto in \(X_i\), siano aperti.
Nota che, di fatto, la definizione di Manetti dice solo che la topologia degli insiemi disgiunti è generata dai \(\iota_i(V)\), \(V\) aperto in \(X_i\). Niente di più. Insomma né formano una base.
Il fatto che non possa essere la meno fine è piuttosto evidente: la topologia banale su \(X\) rende continue tutte le iniezioni canoniche. Appena mi sono messo a rileggere mi sono accorto dell’assurdità che avevo scritto.
La definizione di Manetti è più costruttiva e dice correttamente che è la meno fine perché non ha richiesto la continuità delle iniezioni ma che i \(\iota_i(V)\), \(V\) aperto in \(X_i\), siano aperti.
Nota che, di fatto, la definizione di Manetti dice solo che la topologia degli insiemi disgiunti è generata dai \(\iota_i(V)\), \(V\) aperto in \(X_i\). Niente di più. Insomma né formano una base.
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