Unione di sottospazi vettoriali
Testo della dispensa:
"L'unione di due sottospazi non è, in generale, un sottospazio vettoriale.
Esempio: Siano $W_1=L(i,j)$ e $W_2=L(i,k)$
N.B: Si ricordi che la notazione $L(a)$ indica l'insieme di tutti i vettori che sono paralleli ad $a$, analogamente $L(a,b)$ indica l'insieme dei vettori complanari ad $a, b$.
Il vettore $v=(2i+3j)+(4k)$ NON appartiene a $W_1 U W_2$, pur essendo somma di un vettore di $W1$ e di un vettore di $W2$."
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Qualcuno mi spiega l'esempio dell'ultima riga? Perchè il vettore $v$ non appartiene a $W_1$ unione $W_2$?
"L'unione di due sottospazi non è, in generale, un sottospazio vettoriale.
Esempio: Siano $W_1=L(i,j)$ e $W_2=L(i,k)$
N.B: Si ricordi che la notazione $L(a)$ indica l'insieme di tutti i vettori che sono paralleli ad $a$, analogamente $L(a,b)$ indica l'insieme dei vettori complanari ad $a, b$.
Il vettore $v=(2i+3j)+(4k)$ NON appartiene a $W_1 U W_2$, pur essendo somma di un vettore di $W1$ e di un vettore di $W2$."
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Qualcuno mi spiega l'esempio dell'ultima riga? Perchè il vettore $v$ non appartiene a $W_1$ unione $W_2$?
Risposte
Allora l'unione dei due sottospazi è costituita dal piano x-y e dal piano x-z, se fai la somma di un vettore che sta nel piano x-y con un vettore che stà nel piano x-z ti accorgi facilmente (graficamente si vede benissimo) che con la regola del parallelogrammo ottieni un vettore che non sta nè in x-y nè in x-z e quindi nemmeno nella loro unione..
Appunto, infatti in generale l'unione insiemistica di spazi vettoriali non è uno spazio vettoriale come succede invece per l'intersezione.
Il sottospazio unione è quello generato dall'unione, ed è dato da tutte le possibili combinazioni lineari di vettori stanti negli spazi addendi.
Per quanto riguarda l'ultima riga:
$v !in W_1$ perché in $W_1$ la componente di $k$ è zero; $v !in W_2$ perché in $W_2$ la componente di $j$ è nulla.
Quindi $v$ non sta nell'unione perché non sta in nessuno dei due spazi.
Sta invece nel sottospazio generato, più ampio.
Il sottospazio unione è quello generato dall'unione, ed è dato da tutte le possibili combinazioni lineari di vettori stanti negli spazi addendi.
Per quanto riguarda l'ultima riga:
$v !in W_1$ perché in $W_1$ la componente di $k$ è zero; $v !in W_2$ perché in $W_2$ la componente di $j$ è nulla.
Quindi $v$ non sta nell'unione perché non sta in nessuno dei due spazi.
Sta invece nel sottospazio generato, più ampio.
si ha che $UuuW$ è sottospazio se o $UsubeW$ oppure $WsubeU$.
infatti se non si ha nessuna delle inclusioni precedenti allora $EEx\inU$ e $x!inW$ ed esiste $y\inW$ e $y!inU$ (chiaramente $x$ e $y$ diversi dal vettore nullo).
allora si ha che $x+y!inU$ e $x+y!inW$ infatti se per assurdo fosse $x+y\inU$ allora esisterebbe $z\inU$ tale che
$x+y=z<=>y=z-x\inU$ assurdo poichè $y!inU$. e si fa in maniera analoga per l'altra relazione.
ciao ciao ciao
infatti se non si ha nessuna delle inclusioni precedenti allora $EEx\inU$ e $x!inW$ ed esiste $y\inW$ e $y!inU$ (chiaramente $x$ e $y$ diversi dal vettore nullo).
allora si ha che $x+y!inU$ e $x+y!inW$ infatti se per assurdo fosse $x+y\inU$ allora esisterebbe $z\inU$ tale che
$x+y=z<=>y=z-x\inU$ assurdo poichè $y!inU$. e si fa in maniera analoga per l'altra relazione.
ciao ciao ciao
Mi aiutate a risolvere questo esercizio...
Sia B: {(1 1) , (1, -1)} (scritti in colonna) e f che va dalle matrici quadrate di ordine 3 a quelle di ordine 2, f(x, y, z) = x + y - z , - x - y + 2z (sono le 2 equazioni).
L'esercizio chiede di calcolare la RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DALLA BASE STANDARD ALLA BASE DATA.
Io mi sono calcolato la rappr. matriciale dalla base standars alla base standard.
Mi potreste spiegare i prossimi passaggi? Grazie
Sia B: {(1 1) , (1, -1)} (scritti in colonna) e f che va dalle matrici quadrate di ordine 3 a quelle di ordine 2, f(x, y, z) = x + y - z , - x - y + 2z (sono le 2 equazioni).
L'esercizio chiede di calcolare la RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DALLA BASE STANDARD ALLA BASE DATA.
Io mi sono calcolato la rappr. matriciale dalla base standars alla base standard.
Mi potreste spiegare i prossimi passaggi? Grazie
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