Unione di sottospazi completi

[la.spina.simone]

Ciao ragazzi!
Devo dimostrare che l'unione di due sottospazi completi di uno spazio metrico è ancora un sottospazio completo.
Quindi devo far vedere che non esiste nessuna successione di Cauchy nell'unione che converge a qualcosa che non appartiene all'unione. Ma come faccio?

Ho supposto che esista una successione di C. nell'unione che converge ad un elemento esterno. Quindi ricavo una sottosuccessione composta dai soli punti che appartengono solo al primo (equiv. solo al secondo) sottospazio e faccio vedere che converge anch'essa a qualcosa che non appartiene al sottospazio, quindi concludo che è assurdo. Ma è giusto?

[Pappappero1]

Quasi...direi che devi mostrare anche che una successione di Cauchy nell'unione dei due sottospazi converge a qualcosa. A priori, se se quell'unione non fosse completa, potrebbe non avere limite.

Chiamiamo $A,B$ i tuoi due sottospazi completi e prendiamo una successione di Cauchy in $A,B$. Nota che ogni estratta di una successione di Cauchy è ancora di Cauchy e che una successione di cauchy che ha un'estratta convergente è a sua volta convergente. Quindi prendi $\{ x_n\}$ successione di Cauchy in $A \cup B$. $\{ x_n\}$ ha un'estratta interamente contenuta in $A$ oppure interamente contenuta in $B$, dal momento che almeno uno dei due deve contenere infiniti termini della successione. Wlog assomiamo che infiniti termini cadano in $A$. Ma allora l'estratta data da quegli infiniti termini è convergente in $A$ perché $A$ è completo. Ma allora tutta la successione è convergente in $A$ e quindi, in particolare, in $A \cup B$.