Unione di chiusi è un chiuso

[kobeilprofeta]

$(X,\tau)$ spazio topologico. $B={V_i}_{i in I}$ famiglia di chiusi localmente finita, cioè t.c. $AA x in X EE U$ aperto contenente x t.c. $U nn V_i != phi$ per un numero finito di indici.
Si provi che $W:=uuu V_i$ è un chiuso.

Ho provato a far vedere che il complementare è aperto.
Quindi che $Y:=X\W=X\uuu V_i$ è aperto.
Sia $x in Y$, mi serve un aperto tutto dentro $Y$. L'idea è di partire dal fatto che esiste un aperto che mi interseca un numero finito di $V_i$, ma da qui mi blocco.

Grazie.

[j18eos]

Sia \(\displaystyle x\) un punto aderente a \(\displaystyle W=\bigcup_{i\in I}V_i\): per definizione di punto di aderenza... usi l'ipotesi...

[kobeilprofeta]

ogni intorno deve intersecarmi W, e tra questi ce n'è almeno uno che interseca al max un numero finito di $V_i$... ma quindi...

[kobeilprofeta]

...?

[kobeilprofeta]

Scusa j18eos, riusciresti a dirmi qualcosina in più? Per il momento non mi muovo....

[j18eos]

Cambio strategia!

Siano \(\displaystyle W=\bigcup_{i\in I}V_i\) e \(\displaystyle x\in X\setminus W\); per l'ipotesi:
\[
\exists V_{i_1},\dots,V_{i_n}\in\mathcal{B},\,U\,\text{aperto}\mid x\in U,\,\forall k\in\{1,\dots,n\},\,U\cap V_{i_k}\neq\emptyset;
\]
allora:
\[
x\in U\setminus W=\dots=U\setminus\left(\bigcup_{k=1}^nV_{i_k}\right)=U_0
\]
e tale \(\displaystyle U_0\) è un intorno aperto di \(\displaystyle x\) disgiunto da \(\displaystyle W\); quindi \(\displaystyle W\) dev'essere un insieme chiuso!