Unione della chiusura di una famiglia di insiemi
Salve a tutti,
la problematica è la seguente. Si riesce a dimostrare che se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ si ha \[
\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}.
\]
Si riesce a vedere, mediante l'utilizzo di esempi, che per l'unione infinita non vale l'uguaglianza, bensì
\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}\subseteq \overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]
mi chiedevo se esistono delle ipotesi, magari sui singoli insiemi $\{A_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ tali da poter affermare che
\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}=\overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]
Vi ringrazio
la problematica è la seguente. Si riesce a dimostrare che se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ si ha \[
\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}.
\]
Si riesce a vedere, mediante l'utilizzo di esempi, che per l'unione infinita non vale l'uguaglianza, bensì
\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}\subseteq \overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]
mi chiedevo se esistono delle ipotesi, magari sui singoli insiemi $\{A_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ tali da poter affermare che
\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}=\overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]
Vi ringrazio
Risposte
Si dimostra che
\[
\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_i} \cup \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}
\] sicché la chiusura commuta con le unioni infinite se e solo se \(\bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}\) è vuoto.
\[
\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_i} \cup \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}
\] sicché la chiusura commuta con le unioni infinite se e solo se \(\bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}\) è vuoto.
Grazie per la risposta.
Quindi, se gli $\{A_{i}\}_{i\inmathbb{N}}$ sono disgiunti abbiamo l'uguaglianza, vero?
Quindi, se gli $\{A_{i}\}_{i\inmathbb{N}}$ sono disgiunti abbiamo l'uguaglianza, vero?
No. Prendi $A_j=\{q_j} $ dove i $q_j$ sono una enumerazione dei razionali.
Perfetto, grazie . E se aggiungiamo la condizione $\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_{n}$
limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?
. E se aggiungiamo la condizione $\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_{n}$limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?
No, prendi $A_n={1/n}$
Grazie!
"elatan":
Perfetto, grazie
limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?
Ma cosa significa "limitato" in uno spazio topologico? Nulla.
Si, mi sono reso conto di aver detto una fesseria.
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