Unicità elemento neutro del prodotto tra matrici
Salve. Qualcuno può cortesemente dimostrare l'unicità dell'elemento neutro del prodotto tra matrici? Sia nel caso $ A*Idn=A $ che $ B*Idn=B$
Risposte
"Daken97":
Salve. Qualcuno può cortesemente dimostrare l'unicità dell'elemento neutro del prodotto tra matrici? Sia nel caso $ A*Idn=A $ che $ Idn*A=A $.
Se ci fossero due identità diverse $a$ e $b$ cosa sarebbero $ab$ e $ba$?
"ghira":
[quote="Daken97"]Salve. Qualcuno può cortesemente dimostrare l'unicità dell'elemento neutro del prodotto tra matrici? Sia nel caso $ A*Idn=A $ che $ Idn*A=A $.
Se ci fossero due identità diverse $a$ e $b$ cosa sarebbero $ab$ e $ba$?[/quote]
Non ho capito il senso di questa domanda.
Riflettici su, allora.
[xdom="gugo82"]Sposto il Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Sposto il Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
"gugo82":
Riflettici su, allora.
[xdom="gugo82"]Sposto il Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
Premesso che la risposta a questa domanda neppure serve a me (nel senso che l'ho posta per conto di altri), se fossi riuscito a dimostrarlo, non avrei certo aperto questo thread. Ma al di là di questo, non ho proprio capito il senso della domanda di Ghira.
"Daken97":
Ma al di là di questo, non ho proprio capito il senso della domanda di Ghira.
Questo perché non hai provato a rispondere alla domanda di ghira. E così.. neghi la tua natura-di-Buddha, o qualcosa del genere.
"ghira":
[quote="Daken97"]Ma al di là di questo, non ho proprio capito il senso della domanda di Ghira.
Questo perché non hai provato a rispondere alla domanda di ghira. E così.. neghi la tua natura-di-Buddha, o qualcosa del genere.[/quote]
Come faccio a rispondere ad una domanda di cui non ho proprio compreso il senso (forse perché mal posta?)? Fai prima a riporla in termini diversi, in modo tale che io riesca a capirla.
EDIT: ho modificato pure la domanda iniziale, perché forse è quello ciò che ha creato confusione.
Quella che “chiedi per un amico” ( 
) è la classica domanda di Algebra cui si risponde provando che se ci sono due elementi neutri, allora essi coincidono.
Chiamali $I_1$ ed $I_2$, se ti piace di più rispetto ad $a$ e $b$, ma poi chiediti a cosa siano uguali i prodotti $I_1*I_2$ ed $I_2*I_1$.
) è la classica domanda di Algebra cui si risponde provando che se ci sono due elementi neutri, allora essi coincidono.Chiamali $I_1$ ed $I_2$, se ti piace di più rispetto ad $a$ e $b$, ma poi chiediti a cosa siano uguali i prodotti $I_1*I_2$ ed $I_2*I_1$.
"Daken97":
Come faccio a rispondere ad una domanda di cui non ho proprio compreso il senso (forse perché mal posta?)? Fai prima a riporla in termini diversi, in modo tale che io riesca a capirla.
Visto che la domanda serve agli altri, e non a te, il tuo comprendere il senso della domanda o no magari non è molto importante. Potresti semplicemente riferire la domanda agli altri e vedere se raggiungono l'illuminazione.
"gugo82":
Quella che “chiedi per un amico” (
Chiamali $I_1$ ed $I_2$, se ti piace di più rispetto ad $a$ e $b$, ma poi chiediti a cosa siano uguali i prodotti $I_1*I_2$ ed $I_2*I_1$.
Credo di aver capito cosa intendi/intendete, ma quel ragionamento vale se cercassimo più elementi neutri "globali", all'interno dell'insieme delle matrici. Se invece ho una matrice $ A $ quadrata specifica, come faccio a dimostrare che ne esiste una sola (chiamiamola $B$) tale per cui $ A*B=A $ ?
EDIT: ok, finalmente sono riuscito anche a dimostrare questo caso più "generale".
No wait. Non è un caso più generale; è che non hai chiaro che cosa significa "elemento neutro".
Un neutro in \( \mathrm{M}_n(K) \) è un elemento \( E\in\mathrm{M}_n(K) \) tale che, qualunque matrice \( A\in\mathrm{M}_n(K) \) tu prenda, è \( AE = EA = A \). Se entrambi \( E_1,E_2\in\mathrm{M}_n(K) \) soddisfano a questa p.tà, allora \( E_1E_2 = E_1 \) perché \( E_2 \) neutro, e \( E_1E_2 = E_2 \) perché \( E_1 \) neutro.
Un neutro in \( \mathrm{M}_n(K) \) è un elemento \( E\in\mathrm{M}_n(K) \) tale che, qualunque matrice \( A\in\mathrm{M}_n(K) \) tu prenda, è \( AE = EA = A \). Se entrambi \( E_1,E_2\in\mathrm{M}_n(K) \) soddisfano a questa p.tà, allora \( E_1E_2 = E_1 \) perché \( E_2 \) neutro, e \( E_1E_2 = E_2 \) perché \( E_1 \) neutro.
"marco2132k":
No wait. Non è un caso più generale; è che non hai chiaro che cosa significa "elemento neutro".
Un neutro in \( \mathrm{M}_n(K) \) è un elemento \( E\in\mathrm{M}_n(K) \) tale che, qualunque matrice \( A\in\mathrm{M}_n(K) \) tu prenda, è \( AE = EA = A \). Se entrambi \( E_1,E_2\in\mathrm{M}_n(K) \) soddisfano a questa p.tà, allora \( E_1E_2 = E_1 \) perché \( E_2 \) neutro, e \( E_1E_2 = E_2 \) perché \( E_1 \) neutro.
Sì, da questo punto di vista, è sbagliata la terminologia che ho utilizzato io. Sarebbe stato più corretto scrivere "dimostra che, data una matrice quadrata $A$ specifica, ne esiste solo una tale per cui $A*B=A$." Perché il quesito in realtà era questo.
"Daken97":
Sarebbe stato più corretto scrivere "dimostra che, data una matrice quadrata $A$ specifica, ne esiste solo una tale per cui $A*B=A$." Perché il quesito in realtà era questo.
Ma se $A$ è una matrice piena di zeri, $A*B=A$ per qualsiasi matrice $B$ (quadrata, delle stesse dimensioni).
"Daken97":
[quote="marco2132k"]No wait. Non è un caso più generale; è che non hai chiaro che cosa significa "elemento neutro".
Un neutro in \( \mathrm{M}_n(K) \) è un elemento \( E\in\mathrm{M}_n(K) \) tale che, qualunque matrice \( A\in\mathrm{M}_n(K) \) tu prenda, è \( AE = EA = A \). Se entrambi \( E_1,E_2\in\mathrm{M}_n(K) \) soddisfano a questa p.tà, allora \( E_1E_2 = E_1 \) perché \( E_2 \) neutro, e \( E_1E_2 = E_2 \) perché \( E_1 \) neutro.
Sì, da questo punto di vista, è sbagliata la terminologia che ho utilizzato io. Sarebbe stato più corretto scrivere "dimostra che, data una matrice quadrata $A$ specifica, ne esiste solo una tale per cui $A*B=A$." Perché il quesito in realtà era questo.[/quote]
Direi che questo non si può dimostrare, visto che è falso. Prendi ad esempio le matrici, scritte per righe, $A=(1,0),(1,0)$ e $B=(1,0),(1,2)$. Allora $AB=B$ ma anche $A*I=A$.
Piccola osservazione: \( \mathrm M_n(K) \) ha divisori dello zero. In altre parole, puoi trovare \( A,B\in\mathrm M_n(K) \), entrambe non nulle, tali che \( AB = 0 \) (esercizio).
Se non ne avesse, potresti dimostrare che, se vale
\[
AB = AC
\] con \( A\neq 0 \), allora vale anche
\[
B = C
\] (Nota che la validità di questo fatto è, in generale, più forte dell'esistenza di elementi inversi: vale in \( \mathbb Z \)!). Allora, se \( AB = A \) per una qualche matrice \( B \), dovrebbe essere anche \( B = 1 \).
Questo ti dice essenzialmente che il controesempio che vuoi fai bene a cercarlo tra i divisori dello zero.
Se non ne avesse, potresti dimostrare che, se vale
\[
AB = AC
\] con \( A\neq 0 \), allora vale anche
\[
B = C
\] (Nota che la validità di questo fatto è, in generale, più forte dell'esistenza di elementi inversi: vale in \( \mathbb Z \)!). Allora, se \( AB = A \) per una qualche matrice \( B \), dovrebbe essere anche \( B = 1 \).
Questo ti dice essenzialmente che il controesempio che vuoi fai bene a cercarlo tra i divisori dello zero.
Avete ragione voi, purtroppo nella mia (fallace) dimostrazione, ho avuto una svista che mi ha portato ad una conclusione falsa. In pratica, avevo ignorato il fatto che la legge di cancellazione per il prodotto di matrici quadrate, è valida solo se la matrice $A$ è invertibile. In ogni caso, l'equivoco di fondo è stato utilizzare in partenza una terminologia sbagliata; se avessi posto il quesito in un altro modo, la risposta sarebbe arrivata subito, dato che, a parte il caso delle matrici nulle, mi è stato fornito un controesempio.
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