Unicitá di un'appl lineare
Salve ragazzi.
Problema di geometria che non riesco a risolvere: Sia $S$ una base di $V$ spazio vettoriale. Sia $v \in S$ e $w_v \in W$ con $W$ spazio vettoriale.
Data l'applicazione lineare $ \varphi: V \to W$ con $\varphi(v)= w_v$ per ogni $v \in S$. Devo dimostrare che é una funzione unica per come é posta. Da dove iniziare?
Problema di geometria che non riesco a risolvere: Sia $S$ una base di $V$ spazio vettoriale. Sia $v \in S$ e $w_v \in W$ con $W$ spazio vettoriale.
Data l'applicazione lineare $ \varphi: V \to W$ con $\varphi(v)= w_v$ per ogni $v \in S$. Devo dimostrare che é una funzione unica per come é posta. Da dove iniziare?
Risposte
Bisogna dimostrare che $\varphi$ è l'unica applicazione lineare che manda ogni vettore $v$ della tua base $S$ in $w_v$.
Supponi di avere due applicazioni lineari che fanno questa cosa e dimostri che coincidono. Oltre alla tua $\varphi$, supponi di avere una $\psi:V\to W$ che manda ogni $v\in S$ in $w_v$, cioè tale che per ogni vettore $v\in S$ tu abbia $\varphi(v)=\psi(v)$. Devi dimostrare che $\varphi$ e $\psi$ coincidono su tutto $V$. Sia $u\in V$. Sia $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$. Allora esistono $a_i\in K$ (dove $K$ il campo dello spazio $V$) tali che $$u=\sum_{i=1}^na_iv_i.$$
E quindi
$$\begin{eqnarray}\varphi(u)-\psi(u) & = & \varphi\biggl(\sum_{i=1}^na_iv_i\biggr)-\psi\biggl(\sum_{i=1}^na_iv_i\biggr)\\
& = & \sum_{i=1}^n\varphi(a_iv_i)-\sum_{i=1}^n\psi(a_iv_i)\\
& = & \sum_{i=1}^na_i\varphi(v_i)-\sum_{i=1}^na_i\psi(v_i)\\
& = & \sum_{i=1}^na_iw_{v_i}-\sum_{i=1}^na_iw_{v_i}\\
& = & 0.
\end{eqnarray}$$
Supponi di avere due applicazioni lineari che fanno questa cosa e dimostri che coincidono. Oltre alla tua $\varphi$, supponi di avere una $\psi:V\to W$ che manda ogni $v\in S$ in $w_v$, cioè tale che per ogni vettore $v\in S$ tu abbia $\varphi(v)=\psi(v)$. Devi dimostrare che $\varphi$ e $\psi$ coincidono su tutto $V$. Sia $u\in V$. Sia $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$. Allora esistono $a_i\in K$ (dove $K$ il campo dello spazio $V$) tali che $$u=\sum_{i=1}^na_iv_i.$$
E quindi
$$\begin{eqnarray}\varphi(u)-\psi(u) & = & \varphi\biggl(\sum_{i=1}^na_iv_i\biggr)-\psi\biggl(\sum_{i=1}^na_iv_i\biggr)\\
& = & \sum_{i=1}^n\varphi(a_iv_i)-\sum_{i=1}^n\psi(a_iv_i)\\
& = & \sum_{i=1}^na_i\varphi(v_i)-\sum_{i=1}^na_i\psi(v_i)\\
& = & \sum_{i=1}^na_iw_{v_i}-\sum_{i=1}^na_iw_{v_i}\\
& = & 0.
\end{eqnarray}$$
va bene, grazie mille!
Ma non dovrei prendere $a_i$ per $varphi$ e magari altri valori per $\psi$?
Ma non dovrei prendere $a_i$ per $varphi$ e magari altri valori per $\psi$?
"klodette89":
va bene, grazie mille!
Ma non dovrei prendere $a_i$ per $varphi$ e magari altri valori per $\psi$?
I valori di \(\displaystyle a_i \) sono le componenti del vettore \(\displaystyle u \) rispetto alla base \(\displaystyle \{v\} \). Non hanno nulla a che fare con \(\displaystyle \varphi \) e \(\displaystyle \psi \): stai solo usando la linearità della mappa.
stavo pensando che sarebbe potuta essere la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore, ma così all'aumentare di m aumenterebbe la dimensione della matrice identità e quindi la dimensione della matrice f da B a B. quindi non credo sia il pensiero giusto
"faizan":
stavo pensando che sarebbe potuta essere la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore, ma così all'aumentare di m aumenterebbe la dimensione della matrice identità e quindi la dimensione della matrice f da B a B. quindi non credo sia il pensiero giusto
Benvenuto/a. Perché rispondi per klodette89? Ho hai semplicemente avuto lo stesso dubbio?
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