Unicita' di una combinazione lineare
Ciao,
c'e' un esercizio che mi mette un dubbio:
Si considerino i seguenti sottospazi di $\mathbb{R}^4$:
$W = {(x, y, z, w) \in R^4 | x=y, z=w}$
$U=<(-1,0,0,0),(0,0,0,2),(1,0,0,1)>$
1. Scrivere il vettore (1, 2, 3, 4) come somma di un elemento di W e uno di U. Tale scrittura e' unica?
2. Scrivere un generico elemento (x, y, z, w) come somma di un elemento di W e uno di U. Tale scrittura e' unica?
Ora, ho risolto cosi': innanzi tutto ho trovato due basi per $W=<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$ e $U=<(1,0,0,0),(0,0,0,1)>$.
Quei vettori tra l'altro credo siano linearmente indipendenti.
Allora posso scrivere il vettore generico come combinazione lineare dei due:
$(1, 2, 3, 4) =(a, a, 0, 0) + (0, 0,b, b) + (c, 0,0,0)+ (0,0,0,d)$, trovando $a = 2$, $b = 3$,$c=-1$ e $d=1$.
A questo punto c'e' da chiedersi: la scrittura e' unica? E qui mi sorgono dubbi... Cosa vuol dire che la scrittura e' unica?? Di primo acchito mi viene da pensare che basterebbe trovare un'altra base ai due insiemi per scrivere la cosa diversamente...
Sul punto 2, praticamente si puo' fare la stessa cosa e comunque mi viene da pensare che anche li basterebbe usare basi diverse...
Ma ho dubbi, riguardo a queste domande sull'unicita'.
Qulcuno potrebbe aiutarmi a capire meglio?
Grazie mille
c'e' un esercizio che mi mette un dubbio:
Si considerino i seguenti sottospazi di $\mathbb{R}^4$:
$W = {(x, y, z, w) \in R^4 | x=y, z=w}$
$U=<(-1,0,0,0),(0,0,0,2),(1,0,0,1)>$
1. Scrivere il vettore (1, 2, 3, 4) come somma di un elemento di W e uno di U. Tale scrittura e' unica?
2. Scrivere un generico elemento (x, y, z, w) come somma di un elemento di W e uno di U. Tale scrittura e' unica?
Ora, ho risolto cosi': innanzi tutto ho trovato due basi per $W=<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$ e $U=<(1,0,0,0),(0,0,0,1)>$.
Quei vettori tra l'altro credo siano linearmente indipendenti.
Allora posso scrivere il vettore generico come combinazione lineare dei due:
$(1, 2, 3, 4) =(a, a, 0, 0) + (0, 0,b, b) + (c, 0,0,0)+ (0,0,0,d)$, trovando $a = 2$, $b = 3$,$c=-1$ e $d=1$.
A questo punto c'e' da chiedersi: la scrittura e' unica? E qui mi sorgono dubbi... Cosa vuol dire che la scrittura e' unica?? Di primo acchito mi viene da pensare che basterebbe trovare un'altra base ai due insiemi per scrivere la cosa diversamente...
Sul punto 2, praticamente si puo' fare la stessa cosa e comunque mi viene da pensare che anche li basterebbe usare basi diverse...
Ma ho dubbi, riguardo a queste domande sull'unicita'.
Qulcuno potrebbe aiutarmi a capire meglio?
Grazie mille
Risposte
Grazie milleSergio, sei stato cristallino!
Ciao
Ciao
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