Unicità di un Endomorfismo

[Ilaria1001]

ciao! mi trovo in difficoltà su questo semplicissimo esercizio:

In $ RR ^4 $ si considerino i 2 spazi vettoriali
U=<(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)> e W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>
Si dica se esiste un endomorfismo di che ha U come NUCLEO e W come IMMAGINE. Ne esiste uno solo? In caso contrario, se ne determinino 2 distinti, precisando, per ciascuno di essi, i corrispondenti dei vettori della base cononica di $ RR^4 $

alla prima domanda ho risposto utilizzando il Teorema del rango e della nullità, quindi esiste perchè la somma della dimensione del nucleo e dell'immagine è 4.
per verificare che non è unico potrei verificare che il nucleo è diverso diverso da zero, cioè che l'endomorfismo non è iniettivo e quindi che i vettori dell'immagine sono linearmente indipendenti.. non so se sia giusto però! c'è qualcuno che mi può aiutare? grazie

[mistake89]

Sappiamo che un'applicazione lineare è definita univocamente in base a come essa agisce sui vettori di base.
Quindi prendi $U$ che consta di 2 vettori linearmente indipendenti e completali ad una base di $RR^4$. A questo punto non ti rimane che assegnare le immagini a questi quattro vettori, stando attendo ad esaudire la richiesta.

Per fornirne due distinte inoltre, detta ${v_1,...,v_4}$ la base di $RR^4$, ove $v_3,v_4$ sono i vettori con i quali hai completato $U$, basterà assegnare $f(v_3)=w_1,f(v_4)=w_2$ e $f(v_3)=w_2,f(v_4)=w_1$.
O a tuo piacere puoi completare con vettori diversi.