Unicità del complemento ortogonale?!

[mistake89]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in un esercizio su prodotti scalari e complementi ortogonali che mi ha stuzzicato un dubbio, ve lo posto per farmi capire meglio.

Sia $g:RR^3->RR^3$ un prodotto scalare tale che $AA X(x_1,x_2,x_3), Y(y_1,y_2,y_3) in RR^3$ $g(X,Y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+3x_2y_2+4x_3y_3$
e sia $W=$.
Si determini il complemento ortogonale a $g$

innanzitutto completo $w$ ad una base di $RR^3$ e considero la nuova base $w,e_2,e_1$

applicando il procedimento di gram-schmidt ottengo che un complemento ortogonale di $W$ è generato dai vettori $w_2,w_3$ ove $w_2=(1,-1/4,-1/8)$ e $w_3=(-1/3,1/3,-1/3)$
e fin qui tutto bene.

Però mi son domandato se lo facessi attraverso un'altra strada otterrei lo stesso risultato?
nel senso, provo a diagonalizzare questa forma bilineare simmetrica sempre definita rispetto alla base cui sopra.
Ottengo ovviamente,essendo un prodotto scalare definito positivo per definizione, che $w$ è non isotropo. So quindi che $RR^3=oplus^(\bot)$

calcolo quindi $^(\bot)$ e mi risulta generato, sperando di non aver fatto male i conti, dai vettori $(-3,1,0),(-2,0,1)$

è giusto questo mio ragionamento? In fondo non si tratta di far altro che diagonalizzare la mia forma bilineare.
Altro domanda: il complemento ortogonale non è unico vero? Basta considerare il fatto che il supplementare, usato per completare la base di $RR^3$ non è unico. è corretto?
Ma se così fosse, come mai pur utilizzando le stesse basi, con solo un procedimento diverso, i risultati sono diversi?

Grazie mille, e perdonate per le ovvietà o le cose sbagliate che posso aver detto.

[mistake89]

"elvis":ma ancor prima...

[...] sia $W=$ [...]
innanzitutto completo w ad una base di $R^3$ e considero la nuova base $(w,e2,e3)$

ehm sisi scusami... volevo dire $e_1,e_2$ ma comunque i calcoli sono stati effettuati con i vettori corretti

[elvis3]

sì. scusami tu.

ero convinto che non ti tornasse perché pensavo che avessi scelto male il completamento della base.
ma quest'errore avrebbe prodotto altri errori che in effetti non ci sono...!

confortato dal tuo ultimo post, ti dico allora

"mistake89":
Ma se così fosse, come mai pur utilizzando le stesse basi, con solo un procedimento diverso, i risultati sono diversi?

sicuro?

[mistake89]

in che senso?
Non ho capito!

[cirasa]

Il sottospazio ortogonale $W^\bot$ è l'insieme dei vettori $g$-ortogonali a tutti i vettori di $W$. La definizione è questa, dato un vettore sai univocamente se appartiene a $W^\bot$ oppure no. In questo senso è unico.
Forse ciò che trovi di diverso sono le basi di $W^bot$. Mi spiego meglio: come ben sai, come ogni sottospazio, $W^\bot$ ammette infinite basi. Lo spazio è sempre lo stesso ma cambia la base scelta.
Naturalmente se vuoi esserne sicuro, puoi provare a controllare che si tratta veramente di due basi diverse dello stesso spazio $W^\bot$...

A proposito del fatto che il supplementare non è unico: certo, questo è vero, puoi prendere un altro sottospazio supplementare a $W$, ma non è più $W^\bot$! Semplicemente ne prendi un altro, ma non più l'ortogonale.

[mistake89]

Grazie Cirasa, ho capito! Effettivamente le basi son diverse, proverò a trovare l'eq e vedere se effettivamente sono le stesse.

Per quanto riguarda il supplementare... La mia curiosità era questa: dato che per applicare Gram-schimdt devo completare il vettore ad una base di $RR^3$ se io cambiassi base, cambiarebbero i vettori che io ottengo dal processo di ortogonalizzazione, ma, suppongo, che mi darebbero basi diverse ma sempre lo $W^(\bot)$ che quindi avrà la stessa equazione delle precedenti, giusto?

[cirasa]

Credo di sì. Otterresti un'altra base dello stesso spazio $W^\bot$.

[mistake89]

Perfetto... Grazie mille!
Appena ho due minuti, provo a rifare l'eserizio e verificare che sia effettivamente così!

Grazie ancora