Un'altra proprietà di topologia
Buonasera a tutti!
Non so perchè ma non riesco a stendere la dimostrazione di tale teorema:
"Dato $Y$ sottospazio di $X$, con $(X,theta)$ e $(Y,theta_Y)$, vale l'implicazione: $YinC$ $rArr$ $C'subeC$, dove con $C$ si denota la famiglia dei chiusi di $(X,theta)$ e con $C'$ quella di $(Y,theta_Y)$".
Ho dimostrato facilmente il teorema duale per gli aperti ma qui con i chiusi non so come andare avanti. Avrei pensato, di ricondurre tutto al caso degli aperti (se possibile), osservando che se $YinC$ allora $X-Yin theta$... ma poi come procedo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Non so perchè ma non riesco a stendere la dimostrazione di tale teorema:
"Dato $Y$ sottospazio di $X$, con $(X,theta)$ e $(Y,theta_Y)$, vale l'implicazione: $YinC$ $rArr$ $C'subeC$, dove con $C$ si denota la famiglia dei chiusi di $(X,theta)$ e con $C'$ quella di $(Y,theta_Y)$".
Ho dimostrato facilmente il teorema duale per gli aperti ma qui con i chiusi non so come andare avanti. Avrei pensato, di ricondurre tutto al caso degli aperti (se possibile), osservando che se $YinC$ allora $X-Yin theta$... ma poi come procedo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Un chiuso di $Y$ è l'intersezione di $Y$ con un chiuso di $X$. In particolare è un'intersezione (finita) di chiusi di $X$, quindi è un chiuso di $X$.
"Martino":
Un chiuso di $Y$ è l'intersezione di $Y$ con un chiuso di $X$.
Questo perché $YsubeX$, giusto?
In particolare è un'intersezione finita di chiusi di $X$, quindi è un chiuso di $X$.
Intendi che il chiuso di $Y$ in oggetto è intersezione finita di chiusi di $X$?
Perdona le troppe domande ma di ogni teorema mi piace avere le idee chiare e capirlo a fondo!
"Andrea90":
[quote="Martino"]Un chiuso di $Y$ è l'intersezione di $Y$ con un chiuso di $X$.
Questo perché $YsubeX$, giusto?[/quote]Sì, è la definizione di topologia di sottospazio.
[quote]In particolare è un'intersezione finita di chiusi di $X$, quindi è un chiuso di $X$.
Intendi che il chiuso di $Y$ in oggetto è intersezione finita di chiusi di $X$?[/quote]Sì.
Se posso darti un consiglio, rifletti bene sulle cose prima di chiedere in giro. Non lo dico perché mi dispiace rispondere alle tue domande, lo dico perché so che rispondersi da soli è molto più produttivo. Secondo me a questa domanda che hai posto potevi risponderti da solo, con un po' di sforzo e in modo più utile.
Un chiuso di $Y$ è l'intersezione di $Y$ con un chiuso di $X$
Ma in base alla definizione di topologia indotta l'intersezione non va eseguita con un aperto?
Ti ringrazio per il consiglio! Hai ragione!
"Andrea90":
Ma in base alla definizione di topologia indotta l'intersezione non va eseguita con un aperto?
Si, ma è una proprietà....Gli insiemi chiusi di $Y$ sono le intersezioni di $Y$ con gli insiemi chiusi di $X$.
Ok. Infatti. Ora torna tutto...
Grazie!
Grazie!
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