Una questione sui sottoinsiemi densi di $RR$
C'è un risultato abbastanza noto che dice che due sottoinsiemi $A$ e $B$ densi numerabili di $RR$ sono omeomorfi (di più! esiste un omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$), mi stavo chiedendo se non si potesse cambiare l'ipotesi sulla cardinalità dagli insiemi, senz'altro non vale per cardinalità uguali a quella di $RR$, in quanto $A=RR\setminusQQ$ e $B=RR\setminus{0}$ fa da controesempio, ma se io chiedo che la cardinalità sia strettamente minore di quella di $RR$ che succede?
Riformulo la domanda: è vero che $A,B\subRR$ t.c. $\overline{A}=RR=\overline{B}$, con $|A|=|B|$, allora $A$ e $B$ sono omeomorfi (e magari esiste omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$)?
Riformulo la domanda: è vero che $A,B\subRR$ t.c. $\overline{A}=RR=\overline{B}$, con $|A|=|B|$, allora $A$ e $B$ sono omeomorfi (e magari esiste omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$)?
Risposte
E' una buona domanda, ma penso ti obblighi a essere più preciso e ad addentrarti in questioni delicate di teoria degli insiemi: affinché $A$ sia denso in $\mathbb R$, deve essere almeno numerabile (un insieme finito è chiuso, perciò coincide con la sua chiusura). A questo punto o assumi l'ipotesi del continuo, e quindi il claim è falso (hai già trovato un controesempio) oppure non la assumi, ma dimostrare il risultato potrebbe diventare non-banale.
Se assumo l'ipotesi del continuo, in realtà il claim è vero, perchè quando ho riformulato la domanda non l'ho fatto proprio bene, prima l'avevo detto esplicitamente che le cardinalità degli insiemi dovesse essere strettamente minore del continuo, ma nella riformulazione mi è sfuggita questa condizione.
Nel caso si assuma che l'ipotesi del continuo sia falsa, ho pensato che magari si riesce a porre qualche condizione sulla cardinalità di questi insiemi, ad esempio la sua cofinalità deve essere $\aleph_0$ o (la proposizione) vale esattamente per ogni numero cardinale del tipo $\aleph_n<2^(\aleph_0)$ con $n\inNN$, o qualcosa del genere.
Nel caso si assuma che l'ipotesi del continuo sia falsa, ho pensato che magari si riesce a porre qualche condizione sulla cardinalità di questi insiemi, ad esempio la sua cofinalità deve essere $\aleph_0$ o (la proposizione) vale esattamente per ogni numero cardinale del tipo $\aleph_n<2^(\aleph_0)$ con $n\inNN$, o qualcosa del genere.
Ciao, la prima cosa che farei è studiarmi la dimostrazione del caso numerabile per capire se può essere generalizzata a cardinalità diverse. Ma ho il sospetto di no. In altre parole come dice killing_buddha può darsi che sia una questione di teoria degli insiemi, ho il sospetto che la congettura che proponi potrebbe addirittura essere equivalente all'ipotesi del continuo.
"Martino":
Ciao
Ciao
la prima cosa che farei è studiarmi la dimostrazione del caso numerabile per capire se può essere generalizzata a cardinalità diverse.
Non è una cattiva idea, solo che in realtà non la conosco una dimostrazione
Ma ho il sospetto di no. In altre parole come dice killing_buddha può darsi che sia una questione di teoria degli insiemi, ho il sospetto che la congettura che proponi potrebbe addirittura essere equivalente all'ipotesi del continuo.
Più o meno me la aspetterei una cosa del genere.
Non è una cattiva idea, solo che in realtà non la conosco una dimostrazione
Essenzialmente si basa sulla possibilità di enumerare $A,B$ (facile), e in particolare bene ordinati e di costruire una funzione tra i due che sia monotona -quindi continua- usando la densità (per l'ordine, che è equivalente alla densità topologica, no? Non mi viene in mente una dimostrazione o un controesempio). La dimostrazione sta https://en.wikipedia.org/wiki/Back-and- ... dered_sets qui
In generale puoi sempre assumere che $A,B$ siano bene ordinati, e quindi puoi sempre definire una funzione mediante minimi su insiemi non vuoti. Del resto è dura togliersi da questioni insiemistiche; assumendo l'ipotesi del continuo $A$ è equipotente ad $\mathbb R$ (ma esiste un denso, equipotente a $\mathbb R$, che rimanga un sottoinsieme proprio?), senza assumerlo la dimostrazione -la parte in cui bene ordini $A,B$- si basa sul trovare cardinali $\alpha,\beta < \mathfrak c$: per trovarli ti serve un assioma.
"killing_buddha":
senza assumerlo la dimostrazione -la parte in cui bene ordini $A,B$- si basa sul trovare cardinali $\alpha,\beta < \mathfrak c$: per trovarli ti serve un assioma.
Non capisco questo commento, io posso ben ordinare qualsiasi insieme, indipendentemente dall'ipotesi del continuo.
Una volta che li hai trovati, certo che puoi bene ordinarli (con un assioma!), ma ti serve un altro assioma per affermare che quegli insiemi esistono 
La domanda non mi sembra semplice da risolvere con strumenti elementari. Chiedi su Mathoverflow e linka qui il tuo post.
La domanda non mi sembra semplice da risolvere con strumenti elementari. Chiedi su Mathoverflow e linka qui il tuo post.
Ma che esistono è l'ipotesi, io prendo due sottoinsiemi di $RR$, densi e con la stessa cardinalità, la quale è strettamente minore di quella di $RR$. Mi chiedo se sono omeomorfi.
Questa formulazione ha senso indipendentemente dalla verità dell'ipotesi del continuo perché almeno una possibile cardinalità ce l'ho a disposizione ($\aleph_0$), poi magari ne ho anche altre, non mi sembra ci sia bisogno di un assioma particolare.
Questa formulazione ha senso indipendentemente dalla verità dell'ipotesi del continuo perché almeno una possibile cardinalità ce l'ho a disposizione ($\aleph_0$), poi magari ne ho anche altre, non mi sembra ci sia bisogno di un assioma particolare.
"otta96":
Ma che esistono è l'ipotesi, io prendo due sottoinsiemi di $RR$, densi e con la stessa cardinalità, la quale è strettamente minore di quella di $RR$. Mi chiedo se sono omeomorfi.
Questa formulazione ha senso indipendentemente dalla verità dell'ipotesi del continuo perché almeno una possibile cardinalità ce l'ho a disposizione ($\aleph_0$), poi magari ne ho anche altre, non mi sembra ci sia bisogno di un assioma particolare.
Ma il fatto che esista un sottoinsieme di $\mathbb R$ tale che $\aleph_0 < |A| < \mathfrak c$ è esattamente l'ipotesi del continuo, no?
"killing_buddha":
Ma il fatto che esista un sottoinsieme di $\mathbb R$ tale che $\aleph_0 < |A| < \mathfrak c$ è esattamente l'ipotesi del continuo, no?
Si (tecnicamente ne è la negazione, ma ho capito cosa intendevi), ma io non ho chiesto $\aleph_0<|A|$, ma $\aleph_0<=|A|$, di cui naturalmente una conseguenza banale è che se l'ipotesi del continuo è vera non c'è nulla da dimostrare (supponendo di aver dimostrato la proposizione "base"), ma per lo meno ci permette in generale di poter evitare di farci problemi quali: "Ma è possibile che esistano tali insiemi?", in quanto almeno una possibilità esiste $|A|=\aleph_0$.
Questo ci esonera dall'obbligo di assumere nuovi assiomi della teoria degli insiemi (almeno mi sembra, se sbaglio ditemelo) e ci permette di discutere tranquillamente di un problema del genere, che può benissimo essere vero sempre, a volte, mai, indecidibile, e chi più ne ha più ne metta
[ot]
"killing_buddha":
$\mathfrak c$
Finalmente ho scoperto come si scrive la cardinalità del continuo, era da un po' che me lo chiedevo, sono commosso
[/ot]P.S. Riguardo al consiglio di chiedere su Mathoverflow, lo sto prendendo in considerazione, però potrò farlo quando ho un po' di tempo perché devo iscrivermi, capire un po' come funziona ecc.
Rianalizziamo la domanda dall'inizio, perché non mi è davvero chiaro cosa tu stia chiedendo in alcuni punti di essa,
anche alla luce delle precisazioni successive.
Questo è l'assunto di base. Sì, è vero: l'idea della dimostrazione è quella che ho linkato prima. Più nello specifico:
anche alla luce delle precisazioni successive.
"otta96":
C'è un risultato abbastanza noto che dice che due sottoinsiemi $A$ e $B$ densi numerabili di $RR$ sono omeomorfi (di più! esiste un omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$)
Questo è l'assunto di base. Sì, è vero: l'idea della dimostrazione è quella che ho linkato prima. Più nello specifico:
[*:2aghbwu8] Comunque sia data una coppia di ordini totali numerabili e densi $A,B$, esiste una biiezione monotona tra loro; questa biiezione è determinata in modo tale che[/*:m:2aghbwu8]
[*:2aghbwu8] due sottospazi di $\mathbb R$, numerabili e densi, sono omeomorfi perché la topologia di sottospazio sui due $A,B$ coincide con la topologia dell'ordine.[/*:m:2aghbwu8][/list:u:2aghbwu8]
mi stavo chiedendo se non si potesse cambiare l'ipotesi sulla cardinalità dagli insiemi
Questo passo è piuttosto ambiguo. Cosa vuoi fare di preciso? Vuoi cambiare la cardinalità di $A,B$ come sottospazi di $\mathbb R$? Vuoi dimostrare lo stesso risultato per un insieme più grande (diciamo $2^{\mathbb R}$) e suoi sottospazi densi? E se è questo il caso, che topologia metti e in che modo li ordini? Senza procedere a leggere, e rimanendo a considerare sottospazi di $\mathbb R$, ci sono tre possibilità, dato che la dimostrazione precedente funziona per $|A|,|B|=\aleph_0$:
[list=1]
[*:2aghbwu8] $|A|,|B| < \aleph_0$[/*:m:2aghbwu8]
[*:2aghbwu8] $\aleph_0 < |A|,|B| < |\mathbb R|$[/*:m:2aghbwu8]
[*:2aghbwu8] $|\mathbb R|\le |A|,|B|$[/*:m:2aghbwu8][/list:o:2aghbwu8]
Del resto ora tu chiedi:
senz'altro non vale per cardinalità uguali a quella di $RR$, in quanto $A=RR\setminusQQ$ e $B=RR\setminus{0}$ fa da controesempio, ma se io chiedo che la cardinalità sia strettamente minore di quella di $RR$ che succede?
Riformulo la domanda: è vero che $A,B\subRR$ t.c. $\overline{A}=RR=\overline{B}$, con $|A|=|B|$, allora $A$ e $B$ sono omeomorfi (e magari esiste omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$)?
il che esclude alcune di quelle possibilità (per esempio la 3. può essere solo $|A|,|B| = \mathfrak c$, ma in questo caso tu hai già detto che l'asserto è falso, e hai dato un controesempio; assumendo 1. l'asserto falso in ogni caso, perché un insieme finito non può essere denso) fino a farne rimanere solo una: che $A,B$ abbiano cardinalità maggiore del numerabile e minore del continuo. Questo equivale a un assioma, precisamente \(\lnot\text{CH}\).
Ci ho pensato un po', e mi sembra di non vedere ostruzioni al fare la stessa dimostrazione del caso numerabile avendo cura di sostituire l'induzione con l'induzione transfinita.
Alternativamente, c'è una dimostrazione che non fa uso dell'induzione transfinita ma solo di proprietà degli spazi di Hausdorff: prendi $A,B$ come da copione (ovvero $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$, densi in $\mathbb R$), adesso \(A':= A\cap\mathbb Q\) e \(B' := B\cap\mathbb Q\) sono densi in $A,B$ rispettivamente, e numerabili; perciò sappiamo che esiste un omeomorfismo \(f :A'\to B'\); del resto ora una mappa tra spazi di Hausdorff definita su un denso si estende univocamente a tutto lo spazio, e deve assumere valori nella chiusura del codominio: bam, ecco un omeomorfismo \(f :A\to B\).
L'unica cosa su cui ho dei dubbi (probabilmente perché non ho mai fatto una dimostrazione la cui esistenza nega l'ipotesi del continuo) è se la richiesta che due sottoinsiemi $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$ siano anche densi non li banalizzi; in altre parole mi sto chiedendo, non è che supporre che esistano $A,B$ tali che $\aleph_0 < |A|,|B| \le \mathfrak c$ densi in $\mathbb R$ implica che $A=B=\mathbb R$? Forse assumendo \(\lnot\text{CH}\) nessuno di tali insiemi può essere denso a meno di non coincidere con $\mathbb R$?
Alternativamente, c'è una dimostrazione che non fa uso dell'induzione transfinita ma solo di proprietà degli spazi di Hausdorff: prendi $A,B$ come da copione (ovvero $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$, densi in $\mathbb R$), adesso \(A':= A\cap\mathbb Q\) e \(B' := B\cap\mathbb Q\) sono densi in $A,B$ rispettivamente, e numerabili; perciò sappiamo che esiste un omeomorfismo \(f :A'\to B'\); del resto ora una mappa tra spazi di Hausdorff definita su un denso si estende univocamente a tutto lo spazio, e deve assumere valori nella chiusura del codominio: bam, ecco un omeomorfismo \(f :A\to B\).
L'unica cosa su cui ho dei dubbi (probabilmente perché non ho mai fatto una dimostrazione la cui esistenza nega l'ipotesi del continuo) è se la richiesta che due sottoinsiemi $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$ siano anche densi non li banalizzi; in altre parole mi sto chiedendo, non è che supporre che esistano $A,B$ tali che $\aleph_0 < |A|,|B| \le \mathfrak c$ densi in $\mathbb R$ implica che $A=B=\mathbb R$? Forse assumendo \(\lnot\text{CH}\) nessuno di tali insiemi può essere denso a meno di non coincidere con $\mathbb R$?
Scusami se ti rispondo solo ora, ma, come si suol dire, meglio tardi che mai
Ok.
Questo passo è piuttosto ambiguo.[/quote]
Infatti nelle mie intenzioni non stavo spiegando cosa volevo fare, volevo solamente dare un'idea di cosa avrei fatto di lì a poco, cioè modificare le ipotesi (nel senso che la formulazione delle ipotesi è diversa, non necessariamente le nuove ipotesi devono essere disgiunte dalle precedenti).
Esatto, dove per cambiare la cardinalità intendo mettere una condizione diversa, cioè $|A|<2^(\aleph_0)$, NON CHIEDO che valga anche $\aleph_0<|A|$.
Nah...
il che esclude alcune di quelle possibilità (per esempio la 3. può essere solo $|A|,|B| = \mathfrak c$, ma in questo caso tu hai già detto che l'asserto è falso, e hai dato un controesempio; assumendo 1. l'asserto falso in ogni caso, perché un insieme finito non può essere denso) fino a farne rimanere solo una: che $A,B$ abbiano cardinalità maggiore del numerabile e minore del continuo. Questo equivale a un assioma, precisamente \(\lnot\text{CH}\).[/quote]
Sono d'accordo col tuo discorso, quello su cui pare che non ci capiamo è la necessità di assumere qualche nuovo assioma, tu dici che ce n'è bisogno dato che sappiamo già che vale per $|A|=\aleph_0$, quindi bisogna considerare solo cardinalità diverse, io dico che non ce n'è bisogno perché metto nell'ipotesi solamente che gli insiemi siano densi (dunque infiniti) e di cardinalità strettamente minore di quella di $RR$, poco mi importa che si sappia già per gli insiemi numerabili, faccio così perché (almeno credo) mi permette di evitare di chiedere nuovi assiomi apposta per il mio problema.
Sicuro? E se li prendo contenuti negli irrazionali ad es. $QQ+sqrt2$ e $QQ+pi$?
Non c'è bisogno dell'uniforme continuità?
Questo sicuramente no, forse volevi dire $|A|=|B|=|RR|$, ma credo non sia vero nemmeno questo perché ad esempio supponiamo che $\aleph_0<\aleph_1<2^(\aleph_0)$, allora possiamo prendere un insieme numerabile denso $X$, poi prendiamo un sottoinsieme $Y\subRR\setminusX$ di cardinalità $\aleph_1$, allora posto $D=XUY$ si ha $D$ denso in $RR$ e $|D|=\aleph_1<2^(\aleph_0)$ (per ipotesi).
Se non ho frainteso cosa stai dicendo dovrei aver risposto prima.
P.S. Ci tengo a ringraziarti moltissimo per il tempo che dedichi a rispondere alle mie domande che sono spesso abbastanza strampalate, se non ci fossi tu non so in quanti mi cacherebbero, quindi sappi che apprezzo veramente tanto che tu mi risponda assiduamente alle domande.
"killing_buddha":
Rianalizziamo la domanda dall'inizio, perché non mi è davvero chiaro cosa tu stia chiedendo in alcuni punti di essa,
anche alla luce delle precisazioni successive.
Ok.
[quote]mi stavo chiedendo se non si potesse cambiare l'ipotesi sulla cardinalità dagli insiemi
Questo passo è piuttosto ambiguo.[/quote]
Infatti nelle mie intenzioni non stavo spiegando cosa volevo fare, volevo solamente dare un'idea di cosa avrei fatto di lì a poco, cioè modificare le ipotesi (nel senso che la formulazione delle ipotesi è diversa, non necessariamente le nuove ipotesi devono essere disgiunte dalle precedenti).
Cosa vuoi fare di preciso? Vuoi cambiare la cardinalità di $A,B$ come sottospazi di $\mathbb R$?
Esatto, dove per cambiare la cardinalità intendo mettere una condizione diversa, cioè $|A|<2^(\aleph_0)$, NON CHIEDO che valga anche $\aleph_0<|A|$.
Vuoi dimostrare lo stesso risultato per un insieme più grande (diciamo $2^{\mathbb R}$) e suoi sottospazi densi? E se è questo il caso, che topologia metti e in che modo li ordini?
Nah...
Senza procedere a leggere, e rimanendo a considerare sottospazi di $\mathbb R$, ci sono tre possibilità, dato che la dimostrazione precedente funziona per $|A|,|B|=\aleph_0$:
[list=1]
[*:p228qlsq] $|A|,|B| < \aleph_0$[/*:m:p228qlsq]
[*:p228qlsq] $\aleph_0 < |A|,|B| < |\mathbb R|$[/*:m:p228qlsq]
[*:p228qlsq] $|\mathbb R|\le |A|,|B|$[/*:m:p228qlsq][/list:o:p228qlsq]
Del resto ora tu chiedi:
[quote]senz'altro non vale per cardinalità uguali a quella di $RR$, in quanto $A=RR\setminusQQ$ e $B=RR\setminus{0}$ fa da controesempio, ma se io chiedo che la cardinalità sia strettamente minore di quella di $RR$ che succede?
Riformulo la domanda: è vero che $A,B\subRR$ t.c. $\overline{A}=RR=\overline{B}$, con $|A|=|B|$, allora $A$ e $B$ sono omeomorfi (e magari esiste omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$)?
il che esclude alcune di quelle possibilità (per esempio la 3. può essere solo $|A|,|B| = \mathfrak c$, ma in questo caso tu hai già detto che l'asserto è falso, e hai dato un controesempio; assumendo 1. l'asserto falso in ogni caso, perché un insieme finito non può essere denso) fino a farne rimanere solo una: che $A,B$ abbiano cardinalità maggiore del numerabile e minore del continuo. Questo equivale a un assioma, precisamente \(\lnot\text{CH}\).[/quote]
Sono d'accordo col tuo discorso, quello su cui pare che non ci capiamo è la necessità di assumere qualche nuovo assioma, tu dici che ce n'è bisogno dato che sappiamo già che vale per $|A|=\aleph_0$, quindi bisogna considerare solo cardinalità diverse, io dico che non ce n'è bisogno perché metto nell'ipotesi solamente che gli insiemi siano densi (dunque infiniti) e di cardinalità strettamente minore di quella di $RR$, poco mi importa che si sappia già per gli insiemi numerabili, faccio così perché (almeno credo) mi permette di evitare di chiedere nuovi assiomi apposta per il mio problema.
"killing_buddha":
prendi $A,B$ come da copione (ovvero $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$, densi in $\mathbb R$), adesso \(A':= A\cap\mathbb Q\) e \(B' := B\cap\mathbb Q\) sono densi in $A,B$ rispettivamente
Sicuro? E se li prendo contenuti negli irrazionali ad es. $QQ+sqrt2$ e $QQ+pi$?
del resto ora una mappa tra spazi di Hausdorff definita su un denso si estende univocamente a tutto lo spazio,
Non c'è bisogno dell'uniforme continuità?
L'unica cosa su cui ho dei dubbi (probabilmente perché non ho mai fatto una dimostrazione la cui esistenza nega l'ipotesi del continuo) è se la richiesta che due sottoinsiemi $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$ siano anche densi non li banalizzi; in altre parole mi sto chiedendo, non è che supporre che esistano $A,B$ tali che $\aleph_0 < |A|,|B| \le \mathfrak c$ densi in $\mathbb R$ implica che $A=B=\mathbb R$?
Questo sicuramente no, forse volevi dire $|A|=|B|=|RR|$, ma credo non sia vero nemmeno questo perché ad esempio supponiamo che $\aleph_0<\aleph_1<2^(\aleph_0)$, allora possiamo prendere un insieme numerabile denso $X$, poi prendiamo un sottoinsieme $Y\subRR\setminusX$ di cardinalità $\aleph_1$, allora posto $D=XUY$ si ha $D$ denso in $RR$ e $|D|=\aleph_1<2^(\aleph_0)$ (per ipotesi).
Forse assumendo \(\lnot\text{CH}\) nessuno di tali insiemi può essere denso a meno di non coincidere con $\mathbb R$?
Se non ho frainteso cosa stai dicendo dovrei aver risposto prima.
P.S. Ci tengo a ringraziarti moltissimo per il tempo che dedichi a rispondere alle mie domande che sono spesso abbastanza strampalate, se non ci fossi tu non so in quanti mi cacherebbero, quindi sappi che apprezzo veramente tanto che tu mi risponda assiduamente alle domande.
"otta96":
...[quote="killing_buddha"]prendi $A,B$ come da copione (ovvero $\aleph_0 < |A|,|B| < \mathfrak c$, densi in $\mathbb R$), adesso \(A':= A\cap\mathbb Q\) e \(B' := B\cap\mathbb Q\) sono densi in $A,B$ rispettivamente
Sicuro? E se li prendo contenuti negli irrazionali ad es. $QQ+sqrt2$ e $QQ+pi$?...[/quote]A meno di qualche stramba simbologia: questi sono insiemi numerabili, in quanto "sposti" \(\displaystyle\mathbb{Q}\)!
Hai ragione, quelli che ho riportato non funzionano come controesempio, ma l'idea è la stessa, prendi insiemi che soddisfano quelle condizioni (se è possibile) contenuti negli irrazionali.
@Killing_buddha non rispondi più? Mi piacerebbe continuare la discussione, così da capire se sbaglio qualcosa, ed eventualmente cosa.
Sì, è che non ho altre idee. Soprattutto non mi sembra davvero chiaro cosa vuoi fare, probabilmente è un mio limite di comprensione? Per gli insiemi numerabili e densi c'è già una dimostrazione, per supporre che esistano insiemi di cardinalità intermedia ti serve un assioma, e senza quell'assioma "non c'è niente in mezzo" quindi la tesi va dimostrata per sottoinsiemi della stessa cardinalità di $\mathbb R$. Del resto in questo caso è banalmente falso.
Ora che si fa?
Ora che si fa?
Dopo diverso tempo che avevo posto questa domanda, mi sono riletto la discussione e ho seguito questo suggerimento:
anche se in realtà l'ho chiesto su MathStackExchange, per eventuali persone a cui interessa la potete trovare qui.
"killing_buddha":
Chiedi su Mathoverflow e linka qui il tuo post.
anche se in realtà l'ho chiesto su MathStackExchange, per eventuali persone a cui interessa la potete trovare qui.
Grammatical OT [ot]In English, the first singular person is "I" and not "i". 
[/ot]
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Ma allora vedi che era un problema difficile!
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