Una questione sui sottoinsiemi densi di $RR$

[otta96]

C'è un risultato abbastanza noto che dice che due sottoinsiemi $A$ e $B$ densi numerabili di $RR$ sono omeomorfi (di più! esiste un omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$), mi stavo chiedendo se non si potesse cambiare l'ipotesi sulla cardinalità dagli insiemi, senz'altro non vale per cardinalità uguali a quella di $RR$, in quanto $A=RR\setminusQQ$ e $B=RR\setminus{0}$ fa da controesempio, ma se io chiedo che la cardinalità sia strettamente minore di quella di $RR$ che succede?
Riformulo la domanda: è vero che $A,B\subRR$ t.c. $\overline{A}=RR=\overline{B}$, con $|A|=|B|$, allora $A$ e $B$ sono omeomorfi (e magari esiste omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$)?

[otta96]

Si è vero, era molto difficile!