Una proprietà un po strana dei prodotti scalari
dimostrare o confutare (a me sembra vero però non ho verificato poi troppo bene):
- dato un prodotto scalare $K$ simmetrico su $R^n$,... (le solite proprietà ma non necessariamente definito positivo) t.c. esistano dei vettori diversi da zero con norma nulla, è vero che se $K'$ è un altro prodotto scalare t.c. $||v||_K=0<=>||v||_K'=0$ allora esiste $\lambda$ per cui $K=\lambda K'" ?
sinceramente se fosse vero la cosa mi sorprenderebbe alquanto visto che non ho mai trovato descritta questa proprietà...
(un punto bonus a chi mi dice perchè mi è venuta in mente questa cosa... aiutino: la relatività che c'entra?)
- dato un prodotto scalare $K$ simmetrico su $R^n$,... (le solite proprietà ma non necessariamente definito positivo) t.c. esistano dei vettori diversi da zero con norma nulla, è vero che se $K'$ è un altro prodotto scalare t.c. $||v||_K=0<=>||v||_K'=0$ allora esiste $\lambda$ per cui $K=\lambda K'" ?
sinceramente se fosse vero la cosa mi sorprenderebbe alquanto visto che non ho mai trovato descritta questa proprietà...
(un punto bonus a chi mi dice perchè mi è venuta in mente questa cosa... aiutino: la relatività che c'entra?)
Risposte
prendiamo in $RR^3$ i prodotti scalari associati nella base canonica alle matrici
$K: ((2,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ e $K': ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$
allora se $v=(v_1,v_2,v_3)$: $||v||_K=2v_1^2+v_2^2$ e $||v||_K'=v_1^2+v_2^2$
si vede che $||v||_K=0 \iff ||v||_K'=0$ ma le norme non sono una il multiplo dell'altra.
Tra l'altro se fosse vero tutti i prodotti scalari simmetrici definiti positivi dovrebbero essere uno multiplo dell'altro avendo il solo vettore nullo come vettore di norma zero. Giusto?
$K: ((2,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ e $K': ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$
allora se $v=(v_1,v_2,v_3)$: $||v||_K=2v_1^2+v_2^2$ e $||v||_K'=v_1^2+v_2^2$
si vede che $||v||_K=0 \iff ||v||_K'=0$ ma le norme non sono una il multiplo dell'altra.
Tra l'altro se fosse vero tutti i prodotti scalari simmetrici definiti positivi dovrebbero essere uno multiplo dell'altro avendo il solo vettore nullo come vettore di norma zero. Giusto?
oh hai ragione... dimenticavo di aggiungere che il prodotto $K$ (e quindi anche K') lo considero NON DEGENERE (e questo dovrebbe rispondere anche alla tua obienzione visto che NON DEGENERE+ESISTE VETTORE DI NORMA NULLA NON NULLO=> NON è DEFINITO POSITIVO)...
buon contro-esempio cmq!
ps: non so perchè ho scritto in maiuscolo spero non dia fastidio... non lo faccio più comunque...
buon contro-esempio cmq!
ps: non so perchè ho scritto in maiuscolo spero non dia fastidio... non lo faccio più comunque...
Edit: Controesempio sbagliato, avevo dimenticato l'ipotesi simmetrica.
Consideriamo i prodotto scalari associati alle matrici $K: ((1,1), (1,0))$ e $K': ((1,1/2), (3/2,0))$.
Entrambe le matrici hanno determinante diverso da zero e quindi sono prodotti scalari non degeneri.
Dato $v = (x,y)$ viene $||v||_K = ||v||_{K'} = x^2 + 2xy$, quindi $||v||_K = 0 \iff ||v||_{K'} = 0$ ma $K'$ non è un multiplo di $K$.
Per il punto bonus dovrei pensarci un po' meglio, anche se ho una vaga idea.
Consideriamo i prodotto scalari associati alle matrici $K: ((1,1), (1,0))$ e $K': ((1,1/2), (3/2,0))$.
Entrambe le matrici hanno determinante diverso da zero e quindi sono prodotti scalari non degeneri.
Dato $v = (x,y)$ viene $||v||_K = ||v||_{K'} = x^2 + 2xy$, quindi $||v||_K = 0 \iff ||v||_{K'} = 0$ ma $K'$ non è un multiplo di $K$.
Per il punto bonus dovrei pensarci un po' meglio, anche se ho una vaga idea.
Io so che quello che dici vale se il campo base è algebricamente chiuso. Non so se valga per $RR$.
Però questa non è simmetrica.
PS: @Thomas: scusa ma è più forte di me: non sarebbe "pò" ma "po'".
"Eredir":
$K': ((1,1/2), (3/2,0))$.
Però questa non è simmetrica.
PS: @Thomas: scusa ma è più forte di me: non sarebbe "pò" ma "po'".
Scusate, ho letto troppo di fretta. 
mmm... Martino se hai qualche dimostrazione postala....
anche se in realtà il campo di interesse del problema è esclusivamente $R$... (la questione nasce dallo spazio-tempo di Minkowsky dove il tempo e lo spazio sono modellizzati, a meno di soprese, da numeri reali!
)...
anche se in realtà il campo di interesse del problema è esclusivamente $R$... (la questione nasce dallo spazio-tempo di Minkowsky dove il tempo e lo spazio sono modellizzati, a meno di soprese, da numeri reali!
)...
"Thomas":
- dato un prodotto scalare $K$ simmetrico su $R^n$,... (le solite proprietà ma non necessariamente definito positivo) t.c. esistano dei vettori diversi da zero con norma nulla, è vero che se $K'$ è un altro prodotto scalare t.c. $||v||_K=0<=>||v||_K'=0$ allora esiste $\lambda$ per cui $K=\lambda K'" ?
No, è falso. (I controesempi sono già stati dati)
(un punto bonus a chi mi dice perchè mi è venuta in mente questa cosa... aiutino: la relatività che c'entra?)
La relatività (ristretta) pone una questione diversa:
nell'ipotesi che $(x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2 = 0$ se e solo se $(x'^0)^2 - (x'^1)^2 - (x'^2)^2 - (x'^3)^2 = 0$, dove le $x^i$ e le $x'^j$ sono le coordinate di uno stesso evento in due sistemi inerziali diversi (cioè le componenti di uno stesso vettore dello spazio di Minkowsi in due basi diverse), allora
a) provare che la forma quadratica $(x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2$ è un invariante
b) trovare le equazioni di passaggio dalle coordinate $x^i$ alle coordinate $x'^j$ (cioè la matrice del cambiamento di base)
"Sidereus":
[quote="Thomas"]- dato un prodotto scalare $K$ simmetrico su $R^n$,... (le solite proprietà ma non necessariamente definito positivo) t.c. esistano dei vettori diversi da zero con norma nulla, è vero che se $K'$ è un altro prodotto scalare t.c. $||v||_K=0<=>||v||_K'=0$ allora esiste $\lambda$ per cui $K=\lambda K'" ?
No, è falso. (I controesempi sono già stati dati)
[/quote]
ora non posso leggere, cmq si il contesto è quello
no i controesempi io non li ho visti... (ho aggiunto l'ipotesi "non degenere" quindi il primo non funzia), il secondo non è simmetrico....
per il controesempio non degenere basta prendere il primo che ho fatto e mettere un 1 nella posizione 3-3 di entrambe le matrici.
direi di considerare il suggerimento di Martino: prendo un prodotto scalare simmetrico $sigma$ su $K^n$ con K algebricamente chiuso allora $||v||_sigma$ è un polinomio omogeneo di secondo grado in $v_1,...,v_n$
siano $sigma_1,sigma_2$ due prodotti scalari che verificano le nostre ipotesi, so $||v||_(sigma_1)=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_(ij)*v_i*v_j$ e $||v||_(sigma_2)=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n b_(ij)*v_i*v_j$
considero il vettore
sia $w(x)=(x,w_2,...,w_n)$ allora
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(11)x^2+2*x*(sum_{i=2}^n a_(1i)*w_i)+sum_{i=2}^n sum_{j=2}^n b_(ij)*w_i*w_j$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(11)x^2+2*x*(sum_{i=2}^n b_(1i)*w_i)+sum_{i=2}^n sum_{j=2}^n b_(ij)*w_i*w_j$
i due polinomi hanno le stesse radici (per ipotesi) se prendo $w_i=delta_(ik)$ con k fissato
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(11)x^2+2*x*a_(1k)+a_(kk)=a_11*(x-x_1)*(x-x_2)=a_(11)*x^2-a_(11)(x_1+x_2)*x+a_(11)*x_1*x_2$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(11)x^2+2*x*b_(1k)+b_(kk)=b_11*(x-x_1)*(x-x_2)=b_(11)*x^2-b_(11)(x_1+x_2)*x+b_(11)*x_1*x_2$
da questo ottengo $2*a_(1k)=-a_(11)*(x_1+x_2)$ e $2*b_(1k)=-b_(11)*(x_1+x_2)$ quindi $a_(1k)/a_(11)=b_(1k)/b_(11)$ e quindi $AAk>=2$ so $a_(1k)/b_(1k)=a_(k1)/b_(k1)=a_(11)/b_(11):=lambda$
se prendo ora $w(x)=(w_1,x,w_3,...,w_n)$
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(22)x^2+2*x*(sum_{i!=2} a_(2i)*w_i)+sum_{i!=2} sum_{j!=2} a_(ij)*w_i*w_j$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(22)x^2+2*x*(sum_{i!=2} b_(2i)*w_i)+sum_{i!=2} sum_{j!=2} b_(ij)*w_i*w_j$
metto $w_i=delta_(ik)$ con k fissato
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(22)x^2+2*x*a_(2k)+a_(kk)=a_22*(x-x_1)*(x-x_2)=a_(22)*x^2-a_(22)(x_1+x_2)*x+a_(22)*x_1*x_2$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(22)x^2+2*x*b_(2k)+b_(kk)=b_22*(x-x_1)*(x-x_2)=b_(22)*x^2-b_(22)(x_1+x_2)*x+b_(22)*x_1*x_2$
con gli stessi passaggi di prima ottengo $a_(2k)/b_(2k)=a_(k2)/b_(k2)=a_(22)/b_(22)$ per quanto visto prima $a_(21)/b_(21)=lambda$ quindi $a_(21)/b_(21)=a_(2k)/b_(2k)=a_(k2)/b_(k2)=a_(22)/b_(22)=lambda$
analogamente in tutti gli altri casi ottengo che $a_(ij)=lambda*b_(ij)$ per ogni $i,j$ e quindi $sigma_1=lambda*sigma_2$
mi auguro che qualcuno abbia qualche idea migliore!
direi di considerare il suggerimento di Martino: prendo un prodotto scalare simmetrico $sigma$ su $K^n$ con K algebricamente chiuso allora $||v||_sigma$ è un polinomio omogeneo di secondo grado in $v_1,...,v_n$
siano $sigma_1,sigma_2$ due prodotti scalari che verificano le nostre ipotesi, so $||v||_(sigma_1)=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_(ij)*v_i*v_j$ e $||v||_(sigma_2)=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n b_(ij)*v_i*v_j$
considero il vettore
sia $w(x)=(x,w_2,...,w_n)$ allora
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(11)x^2+2*x*(sum_{i=2}^n a_(1i)*w_i)+sum_{i=2}^n sum_{j=2}^n b_(ij)*w_i*w_j$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(11)x^2+2*x*(sum_{i=2}^n b_(1i)*w_i)+sum_{i=2}^n sum_{j=2}^n b_(ij)*w_i*w_j$
i due polinomi hanno le stesse radici (per ipotesi) se prendo $w_i=delta_(ik)$ con k fissato
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(11)x^2+2*x*a_(1k)+a_(kk)=a_11*(x-x_1)*(x-x_2)=a_(11)*x^2-a_(11)(x_1+x_2)*x+a_(11)*x_1*x_2$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(11)x^2+2*x*b_(1k)+b_(kk)=b_11*(x-x_1)*(x-x_2)=b_(11)*x^2-b_(11)(x_1+x_2)*x+b_(11)*x_1*x_2$
da questo ottengo $2*a_(1k)=-a_(11)*(x_1+x_2)$ e $2*b_(1k)=-b_(11)*(x_1+x_2)$ quindi $a_(1k)/a_(11)=b_(1k)/b_(11)$ e quindi $AAk>=2$ so $a_(1k)/b_(1k)=a_(k1)/b_(k1)=a_(11)/b_(11):=lambda$
se prendo ora $w(x)=(w_1,x,w_3,...,w_n)$
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(22)x^2+2*x*(sum_{i!=2} a_(2i)*w_i)+sum_{i!=2} sum_{j!=2} a_(ij)*w_i*w_j$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(22)x^2+2*x*(sum_{i!=2} b_(2i)*w_i)+sum_{i!=2} sum_{j!=2} b_(ij)*w_i*w_j$
metto $w_i=delta_(ik)$ con k fissato
$||w(x)||_(sigma_1)=a_(22)x^2+2*x*a_(2k)+a_(kk)=a_22*(x-x_1)*(x-x_2)=a_(22)*x^2-a_(22)(x_1+x_2)*x+a_(22)*x_1*x_2$
$||w(x)||_(sigma_2)=b_(22)x^2+2*x*b_(2k)+b_(kk)=b_22*(x-x_1)*(x-x_2)=b_(22)*x^2-b_(22)(x_1+x_2)*x+b_(22)*x_1*x_2$
con gli stessi passaggi di prima ottengo $a_(2k)/b_(2k)=a_(k2)/b_(k2)=a_(22)/b_(22)$ per quanto visto prima $a_(21)/b_(21)=lambda$ quindi $a_(21)/b_(21)=a_(2k)/b_(2k)=a_(k2)/b_(k2)=a_(22)/b_(22)=lambda$
analogamente in tutti gli altri casi ottengo che $a_(ij)=lambda*b_(ij)$ per ogni $i,j$ e quindi $sigma_1=lambda*sigma_2$
mi auguro che qualcuno abbia qualche idea migliore!
"rubik":
per il controesempio non degenere basta prendere il primo che ho fatto e mettere un 1 nella posizione 3-3 di entrambe le matrici
no K ti viene in quel modo definito positivo e quindi non possiede vettori non nulli di lunghezza nulla...
ps: non sto ignorando la tua dimo quando ho tempo la leggo!
"Thomas":
[quote="rubik"]per il controesempio non degenere basta prendere il primo che ho fatto e mettere un 1 nella posizione 3-3 di entrambe le matrici
no K ti viene in quel modo definito positivo e quindi non possiede vettori non nulli di lunghezza nulla...
ps: non sto ignorando la tua dimo quando ho tempo la leggo!
[/quote]ops
continuo a pensare al controesempio nel caso non algebricamente chiuso!
se sei convinto che sia falso ... basta che non mi fai controesempi in $F_5$ !
... basta che non mi fai controesempi in $F_5$ !
"Thomas":
se sei convinto che sia falso
non sono così convinto
e stavo proprio pensando a controesempi in $F_5$ (ho avuto gli incubi stanotte!)comunque, dopo averci dormito su, mi sono accorto che la dimostrazione è sbagliata, ho diviso con troppa leggerezza per dei coefficienti che potrebbero essere zero
Ci tornerò su nel fine settimana, che ho più tempo!
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