Una piccola dritta sulla dimensione delle matrici
le matrici (m x n) formano uno spazio vettoriale di dimensione m x n
fin qui ci sono,
ma per le matrici diagonali o triangolari superiori (n x n), la dimensione è sempre n^2?
e per una matrice m x n che ha tutti gil elementi della prima riga uguali a 0 è sempre uno spazio vettoriale di dimensione m x n?
grazie
fin qui ci sono,
ma per le matrici diagonali o triangolari superiori (n x n), la dimensione è sempre n^2?
e per una matrice m x n che ha tutti gil elementi della prima riga uguali a 0 è sempre uno spazio vettoriale di dimensione m x n?
grazie
Risposte
ma assolutamente no!!!
scusa: le matrici diagonali sono un sottinsieme PROPRIO dell'insieme delle matrici quadrate di ordine n. Quindi (ammesso che sia uno spazio vettoriale, cosa da verificare!!!) non può avere la stessa dimensione.
Per la precisione sono tutti e 3 spazi vettorialidi dimensioni:
$n$: le matrici diagonali perchè una loro base è l'insieme delle n matrici $M_i$ di tutti zeri tranne nel posto ii che vale 1, per i=1,...,n
$n(n+1)/2$: le matrici triangolari superiori perchè analogamente una loro base è quella delle matrici che hanno 1 nel posto ij e 0 altrove al variare di $1<=i<=j<=n$ che sono esattamente $n+(n-1)+(n-2)+...+1=n(n+1)/2$
$(m-1)n$: nel terzo caso e la base è come quelle precedenti.
scusa: le matrici diagonali sono un sottinsieme PROPRIO dell'insieme delle matrici quadrate di ordine n. Quindi (ammesso che sia uno spazio vettoriale, cosa da verificare!!!) non può avere la stessa dimensione.
Per la precisione sono tutti e 3 spazi vettorialidi dimensioni:
$n$: le matrici diagonali perchè una loro base è l'insieme delle n matrici $M_i$ di tutti zeri tranne nel posto ii che vale 1, per i=1,...,n
$n(n+1)/2$: le matrici triangolari superiori perchè analogamente una loro base è quella delle matrici che hanno 1 nel posto ij e 0 altrove al variare di $1<=i<=j<=n$ che sono esattamente $n+(n-1)+(n-2)+...+1=n(n+1)/2$
$(m-1)n$: nel terzo caso e la base è come quelle precedenti.
quindi in pratica la dimensione di una matrice è il numero dei suoi elementi non nulli?
No un momento:
la dimensione di una matrice è il numero di righe per il numero di colonne della matrice stessa.
la dimensione che avevi chiesto era quella di alcuni sottospazi dello spazio delle matrici.
dimensione di una matrice e dimensione di uno spazio vettoriale sono ben diversi.
la dimensione di una matrice è il numero di righe per il numero di colonne della matrice stessa.
la dimensione che avevi chiesto era quella di alcuni sottospazi dello spazio delle matrici.
dimensione di una matrice e dimensione di uno spazio vettoriale sono ben diversi.
si, sto parlando di quella del sottospazio che genera
allora facciamo un po' di chiarezza:
quando tu dici la dimensione del sottospazio che genera intendi:
considero l'INSIEME delle matrici diagonali. Osservo che esso è uno spazio vettoriale (con opportune motivazioni) o equivalentemente che è un sottospazio dello spazio delle matrici quadrate di ordine n (con analoghe opportune motivazioni).
Poi ti accorgi che definendo in questo modo un sottospazio delle matrici quadrate ogni matrice diagonale si scrive in modo unico come somma di quelle matrici che ti ho detto moltiplicate per opportuni coefficienti. Poi osservi che sempre quelle matrici sono n e sono linearmente indipendenti. Solo ora puoi dire che la dimensione dello spazio delle matrici diagonali è uguale al numero di elementi non nulli in generale nell'insieme cioè n (gli elementi principali).
Ma stai attento che in questo insieme non tutte le matrici hanno esattamente n elementi non nulli.
E' chiaro?
quando tu dici la dimensione del sottospazio che genera intendi:
considero l'INSIEME delle matrici diagonali. Osservo che esso è uno spazio vettoriale (con opportune motivazioni) o equivalentemente che è un sottospazio dello spazio delle matrici quadrate di ordine n (con analoghe opportune motivazioni).
Poi ti accorgi che definendo in questo modo un sottospazio delle matrici quadrate ogni matrice diagonale si scrive in modo unico come somma di quelle matrici che ti ho detto moltiplicate per opportuni coefficienti. Poi osservi che sempre quelle matrici sono n e sono linearmente indipendenti. Solo ora puoi dire che la dimensione dello spazio delle matrici diagonali è uguale al numero di elementi non nulli in generale nell'insieme cioè n (gli elementi principali).
Ma stai attento che in questo insieme non tutte le matrici hanno esattamente n elementi non nulli.
E' chiaro?
si grazie ora mi è chiaro 
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