Una matrice reale come somma di matrici invertibili
Un esercizio di questo pdf che non sono riuscito a svolgere, magari qualcuno mi può dare un'idea:
è vero che una matrice quadrata reale è somma di due matrici invertibili?
è vero che una matrice quadrata reale è somma di due matrici invertibili?
Risposte
Se a una matrice $A$ sottrai $\lambda I$ con $\lambda>||A||$ allora trovi una matrice invertibile.
Ciò è conseguenza del fatto che, se $||A||<1$, allora $I-A$ è invertibile e ha come inversa $\sum_{n=0}^\infty A^n$.
Torna?
Ciò è conseguenza del fatto che, se $||A||<1$, allora $I-A$ è invertibile e ha come inversa $\sum_{n=0}^\infty A^n$.
Torna?
Oppure senza le norme di matrici, $p(\lambda):=det (\lambda I+A)$ ha un numero finito di radici
"dissonance":
Un esercizio di questo pdf che non sono riuscito a svolgere, magari qualcuno mi può dare un'idea:
è vero che una matrice quadrata reale è somma di due matrici invertibili?
Buonasera Dissonance.
Non è la prima volta che fai riferimento a quegli appunti... Studi anche tu a Padova?
[OT]Studio a Padova anch'io, e conosco un po' anche quegli appunti[/OT]
Tra l'altro dal fatto che $det(\lambda I - A)\ne 0$ per quasi tutti i $ \lambda$ discende anche il simpatico fatto che il polinomio caratteristico di AB è uguale a quello di BA.
Tra l'altro dal fatto che $det(\lambda I - A)\ne 0$ per quasi tutti i $ \lambda$ discende anche il simpatico fatto che il polinomio caratteristico di AB è uguale a quello di BA.
"pic":
[OT]Studio a Padova anch'io, e conosco un po' anche quegli appunti[/OT]
Tra l'altro dal fatto che $det(\lambda I - A)\ne 0$ per quasi tutti i $ \lambda$ discende anche il simpatico fatto che il polinomio caratteristico di AB è uguale a quello di BA.
Problema settimanale numero 1?!
scusate il ritardo...! 
@ dorian: ciao! Non studio a padova ma a bari, leggevo quegli appunti per curiosità visto che su questo forum sono stati citati alcune volte. Devo dire che sono molto completi, anzi se devo essere sincero, pure troppo completi! Per un corso di primo anno mi sembrano un po' esagerati. Mentre per ripasso & approfondimento sono ottimi.
@ pic e V.G.E.: Siete d'accordo sul fatto che dobbiamo arrivare a qualcosa tipo $A - lambdaI = U$ con $U$ invertibile e $lambda!=0$. Solo questo è già un grosso aiuto. Ed in effetti, o di riffa o di raffa(leggi: con il metodo di V.G.E. o con quello di pic), un $lambda$ che renda $A-lambdaI$ invertibile si trova.
In realtà questo esercizio è proposto nei primi capitoli, quindi adesso cerco di trovare un metodo completamente elementare per dimostrare quest'ultima proposizione (non dovrebbe essere troppo difficile ora che so cosa fare: se fosse per ogni $lambda!=0$ $"dim ker" (A-lambdaI)>=1$ potremmo trovare "troppi" autovettori, sicuramente più della dimensione di A). Non dovrebbe essere necessaria nemmeno la struttura reale, penso che basti un campo infinito qualunque.
Infine, @pic: da dimostrare che $"det" (AB-lambdaI)="det"(BA-lambdaI)$ per ogni coppia di matrici quadrate $A, B$? Ma su quale campo?
@ dorian: ciao! Non studio a padova ma a bari, leggevo quegli appunti per curiosità visto che su questo forum sono stati citati alcune volte. Devo dire che sono molto completi, anzi se devo essere sincero, pure troppo completi! Per un corso di primo anno mi sembrano un po' esagerati. Mentre per ripasso & approfondimento sono ottimi.
@ pic e V.G.E.: Siete d'accordo sul fatto che dobbiamo arrivare a qualcosa tipo $A - lambdaI = U$ con $U$ invertibile e $lambda!=0$. Solo questo è già un grosso aiuto. Ed in effetti, o di riffa o di raffa(leggi: con il metodo di V.G.E. o con quello di pic), un $lambda$ che renda $A-lambdaI$ invertibile si trova.
In realtà questo esercizio è proposto nei primi capitoli, quindi adesso cerco di trovare un metodo completamente elementare per dimostrare quest'ultima proposizione (non dovrebbe essere troppo difficile ora che so cosa fare: se fosse per ogni $lambda!=0$ $"dim ker" (A-lambdaI)>=1$ potremmo trovare "troppi" autovettori, sicuramente più della dimensione di A). Non dovrebbe essere necessaria nemmeno la struttura reale, penso che basti un campo infinito qualunque.
Infine, @pic: da dimostrare che $"det" (AB-lambdaI)="det"(BA-lambdaI)$ per ogni coppia di matrici quadrate $A, B$? Ma su quale campo?
"dissonance":
Un esercizio di questo pdf che non sono riuscito a svolgere, magari qualcuno mi può dare un'idea:
è vero che una matrice quadrata reale è somma di due matrici invertibili?
Appurato questo fatto, è possibile usarlo (assieme ad altre cose...) per dimostrare che, $AA alpha in RR$, le matrici $alphaI_n$ commutano con ogni matrice in $M_n(RR)$?
"Dorian":
$AA alpha in RR$, le matrici $alphaI_n$ commutano con ogni matrice in $M_n(RR)$?
ciao dorian! Sinceramente non riesco a seguirti. Se vuoi dimostrare che $A(alphaI)=alphaIA$ non mi sembra che sia necessario usare niente di non elementare. Se invece vuoi dimostrare che le matrici della forma $alphaI$ sono esattamente il centro di $M_n(K)$, ti conviene ragionare in termini di applicazioni lineari anziché di matrici (infatti se una matrice quadrata commuta con tutte le altre, in particolare rappresenta un endomorfismo che è associato sempre alla stessa matrice, indipendentemente dalla scelta di una base. Rimane da dimostrare che questi endomorfismi sono necessariamente di tipo $v_i \mapsto alpha v_i$ dove ${v_1, ldots, v_n}$ è una base qualsiasi). Ma forse non ho afferrato quello che volevi dire.
"dissonance":
[quote="Dorian"]
$AA alpha in RR$, le matrici $alphaI_n$ commutano con ogni matrice in $M_n(RR)$?
ciao dorian! Sinceramente non riesco a seguirti. Se vuoi dimostrare che $A(alphaI)=alphaIA$ non mi sembra che sia necessario usare niente di non elementare. Se invece vuoi dimostrare che le matrici della forma $alphaI$ sono esattamente il centro di $M_n(K)$, ti conviene ragionare in termini di applicazioni lineari anziché di matrici (infatti se una matrice quadrata commuta con tutte le altre, in particolare rappresenta un endomorfismo che è associato sempre alla stessa matrice, indipendentemente dalla scelta di una base. Rimane da dimostrare che questi endomorfismi sono necessariamente di tipo $v_i \mapsto alpha v_i$ dove ${v_1, ldots, v_n}$ è una base qualsiasi). Ma forse non ho afferrato quello che volevi dire.[/quote]
Non sono stato capito.
E' chiaro che la dimostrazione della proposizione:
"le matrici scalari stanno nel centro di $M_n(K)$" (*) (+)
è piuttosto elementare... Ciò che chiedo io è una dimostrazione di (*) (sempre elementare) che usi esplicitamente il fatto che:
"ogni matrice reale è somma di 2 matrici invertibili"
...Preciso che non sono intervenuto nella discussione per ottenere delucidazioni, ma solo per proporre questo esercizio!
(+) Sappiamo che in realtà il centro coincide con il sottospazio delle matrici scalari, ma non ci interessa...
Tra l'altro dal fatto che $det(\lambda I - A)\ne 0$ per quasi tutti i $ \lambda$ discende anche il simpatico fatto che il polinomio caratteristico di AB è uguale a quello di BA.
In che senso? Poi sbaglio o questa cosa vale solo se AB e quindi BA sono non singolari? Illuminatemi....
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