Una dimostrazione su spazi vettoriali e applicazioni lineari

[mitttico]

Salve a tutti.

Mi trovo di fronte una dimostrazione che mi lascia qualche dubbio..ve la riporto

Siano V e W spazi vettoriali reali, e siano L,T : V -> W due applicazioni lineari. Siano [tex]A:= \left\{ v \in V | L(v)=T(v) \right\} B:= \left\{ v \in V | L(v)= - T(v) \right\}[/tex]. Dimostrare che [tex]A \cap B = KerL \cap KerT[/tex]

Il mio ragionamento è questo:

A intersezione con B vuol dire che il vettore [tex]v \in V[/tex] deve sia dare [tex]L(v)=T(v)[/tex] sia [tex]L(v)=-T(v)[/tex]. Il tutto risulta essere vero solo per il vettore v=0.

E' giusto come ragionamento?

[cirasa]

"mitttico":A intersezione con B vuol dire che il vettore [tex]v \in V[/tex] deve sia dare [tex]L(v)=T(v)[/tex] sia [tex]L(v)=-T(v)[/tex]. Il tutto risulta essere vero solo per il vettore v=0.

No, non si riesce a concludere che [tex]v=0[/tex], ma solo che [tex]L(v)=T(v)=0[/tex].
Praticamente hai provato che [tex]A\cap B\subseteq \ker(T)\cap\ker(L)[/tex].

Ora devi provare l'inclusione opposta, ma non mi sembra complicatissima...