Una applicazione lineare è limitata se è continua in un p.to
Data $Lambda:X->Y$ applicazione lineare tra spazi normati.
Devo mostrare che se $Lambda$ è continua in $x_0$ allora la $Lambda$ è limitata.
So che $AA epsilon >0 EE delta >0 t.c. AAx,||x||
ho ragionato così, solo che la mia dimostrazione mi sembra "sporca", nel senso che secondo me può esser fatta molto più velocemente (del resto sul Rudin non la fa neanche..)
Devo provare che $max_(||x||=1) ||Lambda x||$ è finito.
Sia $x in X,||x||=1$
fisso $epsilon>0$, allora $EE delta >0 t.c. AAx,||x||
$epsilon$ e $delta$ non sono influenzati dalla scelta della $x$ e quindi fine.
Devo mostrare che se $Lambda$ è continua in $x_0$ allora la $Lambda$ è limitata.
So che $AA epsilon >0 EE delta >0 t.c. AAx,||x||
ho ragionato così, solo che la mia dimostrazione mi sembra "sporca", nel senso che secondo me può esser fatta molto più velocemente (del resto sul Rudin non la fa neanche..)
Devo provare che $max_(||x||=1) ||Lambda x||$ è finito.
Sia $x in X,||x||=1$
fisso $epsilon>0$, allora $EE delta >0 t.c. AAx,||x||
$epsilon$ e $delta$ non sono influenzati dalla scelta della $x$ e quindi fine.
Risposte
Ineccepibile, direi. L'unica cosa che io avrei fatto di diverso è scegliere $epsilon=1$ per non portarmi dietro l'$epsilon$, ma è questione di gusti 
Si. al'idea della dimostrazione l'avevo fatta con l'epsilon=1..poi ho generalizzato per vedere se riuscivo a semplificare la dimostrazione..
Quindi mi dici che non c'è un modo più ovvio di dimostrarlo?
Quindi mi dici che non c'è un modo più ovvio di dimostrarlo?
Beh, non credo. Conta che sostanzialmente la tua dimostrazione dice: fissato $epsilon$ trovo $delta$ come sopra. Allora $delta/2 x$ ha norma minore di $delta$ e quindi $||Lambda delta/2 x||
D'altro canto devi usare almeno la proprietà da te scritta degli $epsilon-delta$ e la linearità di $Lambda$, e la tua dimostrazione non riguarda altro che queste due cose. Quindi a mio avviso è la più breve esistente.
D'altro canto devi usare almeno la proprietà da te scritta degli $epsilon-delta$ e la linearità di $Lambda$, e la tua dimostrazione non riguarda altro che queste due cose. Quindi a mio avviso è la più breve esistente.
Il risultato del Rudin è però (omette la dimostrazione, ma scrive il risultato):$||Lambda||<=epsilon/delta$
Come l'ottengo?
Direi: al posto di prendere $delta/2$ prendo $delta*(1-1/n)$ e poi mando $n->+oo$.
Correct?
Come l'ottengo?
Direi: al posto di prendere $delta/2$ prendo $delta*(1-1/n)$ e poi mando $n->+oo$.
Correct?
Oppure al posto di $epsilon$ prendi $epsilon/2$
- tu sai che una applicazione lineare e' continua in un punto $x_0$. In questa affermazione non c'e' alcuna traccia ne' di epsilon ne' di delta (e sarei stupito se ve ne fosse). Mi domando quale speciale magia nera usi il Rudin per farli comparire nella stima della limitatezza
- sei sicuro che $|| \Lambda x ||$ abbia max sulla sfera unitaria? Che sia una funzione continua (rispetto alla topologia forte) non ci piove. Ma la sfera unitaria mica e' compatta nella topologia forte.
- sei sicuro che $|| \Lambda x ||$ abbia max sulla sfera unitaria? Che sia una funzione continua (rispetto alla topologia forte) non ci piove. Ma la sfera unitaria mica e' compatta nella topologia forte.
Il risultato del Rudin è però (omette la dimostrazione, ma scrive il risultato):||Λ||≤εδ
Secondo me Rudin fa (o sottintende) la tua stessa dimostrazione con il minore o eguale invece del
minore stretto. Così facendo la costante gli viene proprio $\epsilon/\delta$.
Comunque mi sembra un dettaglio marginale.
"Fioravante Patrone":
- sei sicuro che $|| \Lambda x ||$ abbia max sulla sfera unitaria? Che sia una funzione continua (rispetto alla topologia forte) non ci piove. Ma la sfera unitaria mica e' compatta nella topologia forte.
Touche, hai ragione. Avevo scritto "sup" in mathml, ma non me lo traduceva, allora così superficialmente ho scritto max. Effettivamente è sbagliato.
Ok, sono definitivamente ($EE nu bla bla$) soddisfatto!
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