Un sottoinsieme denso del toro

[dissonance]

Sto cercando di risolvere questo esercizio (num.12 capitolo 8 da W.Rudin Principi di analisi matematica), riporto le parti salienti:

Fissiamo due numeri reali $a, b$, $0 ${(f_1(s,t)=(b+a*cos\ s)cos\ t), (f_2(s,t)=(b+a*cos\ s)sin\ t), (f_2(s,t)=(a*sin\ s)):}$.
Si descriva l'immagine $K$ di $f$ (è un certo sottoinsieme compatto di $RR^3$.

[ometto i punti a), b), c)]

d) Sia $lambda$ un numero reale irrazionale e definiamo $g(t)=f(t, lambdat)$. Si dimostri che $g$ è una applicazione iniettiva da $RR$ su un sottoinsieme denso di $K$. [continua...]

L'insieme $K$ citato è il toro in $RR^3$, $a$ è il raggio del tubo e $b$ la distanza del centro del tubo dall'origine. La parte interessante, e anche quella più difficile da masticare, è il punto d). Non è difficile mostrare che la $g$ è iniettiva (è un conto e segue dall'irrazionalità di $lambda$), mentre non mi riesce di dimostrare che la sua immagine è un sottoinsieme denso di $K$.

Pensavo di procedere in questo modo: [edit] Vedi post successivo. Col metodo scritto qua non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte, è troppo confuso.[/edit]

[size=75]fissiamo $s_0, t_0$ reali, dobbiamo mostrare che $\forallepsilon$ c'è un intorno di $f(s_0, t_0)$ contenente qualche $g(t)$. L'intorno lo prenderei a forma di parallelepipedo: in questa maniera dobbiamo trovare una $t$ reale per cui ${(|f_1(s_0, t_0)-g_1(t)|
Fatti due conti, questo significa fare avvicinare arbitrariamente $sin\ t$ a $sin\ s_0$ e $cos\ lambdat$ a $cos\ t_0$.

Perciò l'intera questione si riduce a trovare questo $t$. Ancora più esplicitamente si tratta di trovare $t\inRR, (h, k)\inZZtimesZZ$ tali che $|t-(s_0+2kpi)|
Qualche idea? Pensavo di sfruttare il teorema del valore intermedio applicato alla retta $y=lambdat$: se troviamo $t_1, t_2$ includenti un qualche $s_0+2kpi$, e tali che $lambdat_1, lambdat_2$ includono un $t_0+2hpi$ abbiamo finito... Ma forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua?
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[dissonance]

Forse ci sono riuscito. Dunque, l'idea è questa: la funzione $f$ da $RR^2$ sul toro (è una carta? credo di sì, non sono molto pratico con queste cose però) è sicuramente Lipschitziana. Questo perché le sue derivate sono limitate, essendo polinomi valutati in $sin$ e $cos$. Diciamo $L$ una costante di Lipschitz della $f$. Questo ci permette di stimare le distanze dei punti sul toro mediante le distanze delle corrispondenti coordinate in $RR^2$.

Allora fissiamo un punto $p$ sulla superficie del toro. Se $p=f(s_0, t_0)$, i punti di $RR^2$ che vengono trasformati in $p$ formano l'insieme $P={(s_0+2kpi, t_0+2hpi)\ |\ h, k\inZZ}$. Ora dato il nostro $lambda$ irrazionale, e fissato $epsilon>0$, vogliamo trovare un $t$ tale che il punto $(t, lambdat)$ in $RR^2$ disti meno di $epsilon/L$ da uno dei punti di P. Questo comporterà $||g(t)-p||<=L*(epsilon/L)=epsilon$.

Per trovare questo $t$, usiamo la formula della distanza di un punto di P dalla retta di equazione $y=lambdat$, un cui vettore normale è $(lambda, -1)$, e che passa per l'origine:

$(|lambda(s_0+2kpi)-(t_0+2hpi)|)/(sqrt(lambda^2+1))=(|(lambdas_0-t_0)+(2pilambdak-2pih)|)/(sqrt(lambda^2+1))$.
A questo punto osserviamo che l'insieme ${2pilambdak-2pih\ |\ h,k\inZZ}$ è denso in $RR$ dato che $2pilambda$ e $2pi$ sono incommensurabili (vedi qui): perciò possiamo trovare $h, k$ interi tali che $|(lambdas_0-t_0)+(2pilambdak-2pih)|$ sia piccolo quanto vogliamo. In particolare possiamo rendere la distanza del punto dalla retta più piccola di $epsilon/L$, da cui segue la tesi.