Un problema che nn riesco a risolvere

[ing.pietro]

siano F1=f(t) e F2=g(t)

determinare f e g tali che nel piano F1-F2 sia un ellissi.

se F1=sin(t) F2=cos (t)

abbiamo una circonferenza

.ma con l ellissi non riesco proprio a saltarci fuori .per favore aiuto !!!

Ps .mi potete scrivere anche i passaggi che portano all equazione dell ellissi. grazie

[gugo82]

Innanzitutto si dice ellisse.

Sia $\ccE$ un'ellisse nel piano. Con tecniche di Geometria I si stabilisce che esiste un riferimento ortonormale del piano che ha l'origine nel centro dell'ellisse e gli assi coincidenti con le rette su cui giacciono gli assi di $\ccE$; in tale riferimento, l'equazione cartesiana dell'ellisse $\ccE$ del tipo:

(*) $\quad x^2/a^2+y^2/b^2=1$

in cui $a>=b>0$ sono le lunghezza dei semiassi dell'ellisse, rispettivamente, lungo gli assi $(x)$ ed $(y)$.

Sostituisci $X=x/a , Y=y/b$ nella (*) ed ottieni $X^2+Y^2=1$, che è l'equazione della circonferenza di raggio unitario; come sai le equazioni parametriche della circonferenza sono le:

(**) $\quad \{(X=cos \theta),(Y=sin \theta):} \quad , \quad \theta \in [0,2pi]\quad$;

ricordando che $X=x/a,Y=y/b$, dalle (**) trai le equazioni parametriche dell'ellisse $\ccE$ nel sistema di riferimento scelto:

(***) $\quad \{(x=a*cos \theta),(y=b*sin \theta):} \quad , \quad \theta \in [0,2\pi] \quad$.

Dalle (***) con traslazioni e rotazioni del riferimento, puoi arrivare ad una forma un po' più generale che è la seguente:

$\{ (x=x_0+a*cos (\theta +\phi)),(y=y_0+b*sin (\theta +\phi)):} \quad , \quad \theta \in [0,2\pi]$

con $(x_0,y_0)\in \RR^2$ centro dell'ellisse, $a>=b>0$ semiassi e $\phi \in [0,2\pi]$ angolo che rappresenta la rotazione che serve per orientare l'asse delle $(x)$ del riferimento scelto secondo la direzione parallela al semiasse maggiore di $\ccE$.

[ing.pietro]

grazie grazie