Un pò di topologia
Sia $p:E->X$ una applicazione continua e surjettiva di spazi topologici che verifica la seguente proprietà:
per ogni $x\inX$ esiste un aperto connesso $U\subsetX$ tale che se $e\inp^{-1}(x)$ e $V_e$ indica la componente connessa di $p^{-1}(U)$ cui appartiene $e$, allora $p:V_e->U$ è un omeomorfismo.
(insomma $p$ è un rivestimento)
Mostrare che se $X$ è $T2$ lo è anche $E$.
per ogni $x\inX$ esiste un aperto connesso $U\subsetX$ tale che se $e\inp^{-1}(x)$ e $V_e$ indica la componente connessa di $p^{-1}(U)$ cui appartiene $e$, allora $p:V_e->U$ è un omeomorfismo.
(insomma $p$ è un rivestimento)
Mostrare che se $X$ è $T2$ lo è anche $E$.
Risposte
Hp:Sia $p:E->X$ una applicazione continua e surjettiva di spazi topologici.
Th:Mostrare che se $X$ è $T2$ lo è anche $E$.
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ora dico la cazzata
... ma non bastano queste ipotesi?
Dopo che hai detto perchè quella sopra è una cazzata, uber, mi diresti precisamente dove stà quella componente connessa? (in quale spazio? Con quale topologia?)...
Th:Mostrare che se $X$ è $T2$ lo è anche $E$.
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ora dico la cazzata
... ma non bastano queste ipotesi?Dopo che hai detto perchè quella sopra è una cazzata, uber, mi diresti precisamente dove stà quella componente connessa? (in quale spazio? Con quale topologia?)...
mmm...
...
perchè dovrebbero bastare? non lo so... non sono molto forte in topologia...
magari hai ragione tu...
la topologia non è precisata, ne deduco che funziona per qualunque topologia.
Per quanto riguarda la componente connessa, è quella di $p^{-1}(U)$, con la
topologia di sottospazio di $E$, cui appartiene $e$
...
perchè dovrebbero bastare? non lo so... non sono molto forte in topologia...
magari hai ragione tu...
la topologia non è precisata, ne deduco che funziona per qualunque topologia.
Per quanto riguarda la componente connessa, è quella di $p^{-1}(U)$, con la
topologia di sottospazio di $E$, cui appartiene $e$
no no cazzata! concedevo l'iniettività a chi non se la meritava (elevandolo ad omeomorfismo)! beh... mi sà che ora non ho tempo per provarci... magari la sol arriva tra due settimane chissà... o magari prima.... se qualcuno nel frattempo ci prova...
ciao!
ciao!
eh già.. con l'iniettività viene facile facile...
Forse oggi ho avuto il tempo di completare il lavoro che avevo iniziato tempo fà, ma non sono proprio sicuro di quanto scrivo.... guarda tu Uber... sarei contento si mi faceste notare gli errori (visto che ultimamente pare tornato un esperto sul forum 
)...
Prendiamo due punti in $E$ e separiamoli, dimostrando così che lo spazio è T2.
Ora, se $p(x)!=p(y)$, basta separare $p(x)$ e $p(y)$ nell'immagine e poi applicare $p^-1$ agli aperti trovati dell'immagine per trovare, grazie alla continuità, degli aperti disgiunti di $x$ ed $y$ in $E$.
Supponiamo quindi $p(x)=p(y)=h$ e prendiamo l'intorno $U_h$ nell'immagine la cui esistenza è garantita dalle ipotesi.
Intanto dimsotriamo che $x$ e $y$ non possono appartenere alla medesima componenete connessa in $p^(-1)(U_h)$. Supponiamo per assurdo invece che possano farlo e chiamo $M$ questa componente connessa. Per ipotesi $M$ é omeomorfo ad $U_h$ e l'omeomorfismo è addirittura fornito dalla funzione $p$. Questo richiede che $p:M->U_h$ sia perlomeno iniettiva, ovvero $p(x)!=p(y)$. Contraddizione.
Quindi $x$ ed $y$ appartengano alle componenti connesse $M_1$ ed $M_2$ rispettivamente (disgiunte, in quanto componenti connesse). Per ipotesi: esistono $p_i:M_i->U$ $i=1,2$ omeomorfismi. Ma allora visto che $U_h$ è aperto in $X$, possiamo trovare un aperto $U'inU$ al quale appartiene $h$. Prendendo i rispettivi intorni in $x$ ed in $y$ dati dagli omeomorfismi $p_1$ e $p_2$ si hanno due aperti in $M_1$ ed $M_2$, che chiamiamo $T_1$ e $T_2$.
Valgono: $T_1=A_1\capM_1$ e $T_2=A_2\capM_2$ con $A_1$ e $A_2$ aperti in $p^(-1)(U_h)$ (e quindi aperti in $E$). Se $A_1\capA_2$ è vuota allora abbiamo finita, altrimenti, supponiamo $A_1\capA_2=Z$.
Visto che $Z$ è in $p^(-1)(U_h)$, per ogni suo elemento possiamo prendere la componente connessa omeomorfa ad $U_h$ (alla quale z appartiene) delle ipotesi.
Facciamolo per un elemento $zinZ$. La componente connessa trovata sarà: chiusa e ad intersezione nulla con $M_1$ ed $M_2$ (sono proprietà delle componenti connesse). Ma allora basta prendere $A_1\capZ^c$ ed $A_2\capZ^c$ per ridurre perlomeno l'intersezione di $A_1$ ed $A_2$ Ripetendo questo per tutte le componenti connesse degli elementi $zinZ$, si dovrebbe avere $A_1$ ed $A_2$ ad intersezione nulla.
Ma, ora che ci penso, mi sà che in questo passaggio ho sottointeso che $p^(-1)(U_h)$ abbia finite componenti connesse (visto che intersezione di aperti è aperta solo se le intersezioni sono finite)... o no?
mmm... cmq (nel caso l'ultimo passaggio funzioni effettivamente solo con queste condizioni) per concludere si potrebbe trovare un chiuso contenente Z ma non x ed y (se il procedimento porta, deve funzionare per questola chiusura di Z) ...
boh.... la dovrei rivedere con calma
... intanto trovateli voi gli errori... ok?
Ciao
)...Prendiamo due punti in $E$ e separiamoli, dimostrando così che lo spazio è T2.
Ora, se $p(x)!=p(y)$, basta separare $p(x)$ e $p(y)$ nell'immagine e poi applicare $p^-1$ agli aperti trovati dell'immagine per trovare, grazie alla continuità, degli aperti disgiunti di $x$ ed $y$ in $E$.
Supponiamo quindi $p(x)=p(y)=h$ e prendiamo l'intorno $U_h$ nell'immagine la cui esistenza è garantita dalle ipotesi.
Intanto dimsotriamo che $x$ e $y$ non possono appartenere alla medesima componenete connessa in $p^(-1)(U_h)$. Supponiamo per assurdo invece che possano farlo e chiamo $M$ questa componente connessa. Per ipotesi $M$ é omeomorfo ad $U_h$ e l'omeomorfismo è addirittura fornito dalla funzione $p$. Questo richiede che $p:M->U_h$ sia perlomeno iniettiva, ovvero $p(x)!=p(y)$. Contraddizione.
Quindi $x$ ed $y$ appartengano alle componenti connesse $M_1$ ed $M_2$ rispettivamente (disgiunte, in quanto componenti connesse). Per ipotesi: esistono $p_i:M_i->U$ $i=1,2$ omeomorfismi. Ma allora visto che $U_h$ è aperto in $X$, possiamo trovare un aperto $U'inU$ al quale appartiene $h$. Prendendo i rispettivi intorni in $x$ ed in $y$ dati dagli omeomorfismi $p_1$ e $p_2$ si hanno due aperti in $M_1$ ed $M_2$, che chiamiamo $T_1$ e $T_2$.
Valgono: $T_1=A_1\capM_1$ e $T_2=A_2\capM_2$ con $A_1$ e $A_2$ aperti in $p^(-1)(U_h)$ (e quindi aperti in $E$). Se $A_1\capA_2$ è vuota allora abbiamo finita, altrimenti, supponiamo $A_1\capA_2=Z$.
Visto che $Z$ è in $p^(-1)(U_h)$, per ogni suo elemento possiamo prendere la componente connessa omeomorfa ad $U_h$ (alla quale z appartiene) delle ipotesi.
Facciamolo per un elemento $zinZ$. La componente connessa trovata sarà: chiusa e ad intersezione nulla con $M_1$ ed $M_2$ (sono proprietà delle componenti connesse). Ma allora basta prendere $A_1\capZ^c$ ed $A_2\capZ^c$ per ridurre perlomeno l'intersezione di $A_1$ ed $A_2$ Ripetendo questo per tutte le componenti connesse degli elementi $zinZ$, si dovrebbe avere $A_1$ ed $A_2$ ad intersezione nulla.
Ma, ora che ci penso, mi sà che in questo passaggio ho sottointeso che $p^(-1)(U_h)$ abbia finite componenti connesse (visto che intersezione di aperti è aperta solo se le intersezioni sono finite)... o no?
mmm... cmq (nel caso l'ultimo passaggio funzioni effettivamente solo con queste condizioni) per concludere si potrebbe trovare un chiuso contenente Z ma non x ed y (se il procedimento porta, deve funzionare per questola chiusura di Z) ...boh.... la dovrei rivedere con calma
... intanto trovateli voi gli errori... ok? Ciao
Ah... dimenticavo! Nel caso esistesse un modo più facile (ed "elementare", anche se dopo un anno di università non so più bene cosa vuol dire 
) ditelo... (io intanto magari penso a sistemare la conclusione, che per ora funzia solo nel caso in cui esistano solo finite componenti connesse , è ufficiale! )...
Beh ciao!
) ditelo... (io intanto magari penso a sistemare la conclusione, che per ora funzia solo nel caso in cui esistano solo finite componenti connesse , è ufficiale! )...Beh ciao!
Scusa, sono andato a vedere su wikipedia per curiosità... riporto la sua definizione di rivestimento...
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In topologia, un rivestimento su uno spazio topologico X è una funzione continua p : Y → X da un altro spazio topologico Y in X con questa proprietà: ogni punto x in X ha un intorno aperto U la cui controimmagine in Y è fatta di aperti disgiunti, tali che restringendo la p su ciascuno di questi si ottiene un omeomorfismo su U. Un rivestimento ha molte proprietà notevoli, e perciò è un argomento centrale della topologia.
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tu ne usi una diversa mi pare o no??? in particolare tu invece di aperti usi le componenti connesse, che sono chiuse... sei sicuro della tua definizione? te lo chiedo perchè io non so cosa sia un rivestimento (e poi, con questa definizione, la dimostrazione sopra si concluderebbe agevolmente, almeno credo, sempre che la birra non mi oscuri troppo la mente 
)
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In topologia, un rivestimento su uno spazio topologico X è una funzione continua p : Y → X da un altro spazio topologico Y in X con questa proprietà: ogni punto x in X ha un intorno aperto U la cui controimmagine in Y è fatta di aperti disgiunti, tali che restringendo la p su ciascuno di questi si ottiene un omeomorfismo su U. Un rivestimento ha molte proprietà notevoli, e perciò è un argomento centrale della topologia.
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tu ne usi una diversa mi pare o no??? in particolare tu invece di aperti usi le componenti connesse, che sono chiuse... sei sicuro della tua definizione? te lo chiedo perchè io non so cosa sia un rivestimento
(e poi, con questa definizione, la dimostrazione sopra si concluderebbe agevolmente, almeno credo, sempre che la birra non mi oscuri troppo la mente )
la definizione che conosco io è quella
beh.... prova a controllare sul libro in cui hai letto l'esercizio (ci spero perchè saprei concludere in fretta )...
cmq per favore dai un'occhiata alle mie fatiche, quando hai tempo ....
ciao ciao!!
)...cmq per favore dai un'occhiata alle mie fatiche, quando hai tempo
.... ciao ciao!!
ora davvero thomas non ho tempo di vederla nei dettagli...
comunque il libro da cui ho preso l'esercizio è lo stesso su cui studio teoria... ergo...
comunque il libro da cui ho preso l'esercizio è lo stesso su cui studio teoria... ergo...
Ok.... don't worry.... solo però quando avrai un pò di tempo guardala eh!.... mi interessa sapere se il procedimento della soluzione è quello che stavo seguendo.... e non preoccuparti se il tempo lo trovi tra un pò di tempo (eheh!)... tanto io sto sempre quà ok?
ok?
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