Un esercizio sulla somma diretta
Salve,
vorrei poter discutere con voi su un esercizio di algebra lineare.
Ho un sottospazio W2 = L(e;f;g)
dove
e = (-1;1;5;4); f = (0;3;-2;1); g = (2;7;-16;-5)
Tra i vari punti:
e) Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 di R4 tale che W2⊕W3 = R4
Io ho pensato di fare così, ma è poco formale e in casi più complessi non so se funzionerebbe.
So che R4 ha dimensione 4, per grassman dim(W2+W3)-dim(W2 intersecato W3)=dim(W3)+dim(W2)
So che la somma diretta mi impone intersezione nulla per il teorema sulla sua caratterizzazione, quindi ho solo:
dim(W2+W3)=dim(W3)+dim(W2) -> deduco dim(W3) da trovare pari a 1.
E poi ho visto ad occhio il vettore indipendente.
Mi chiedevo però come trovare con un sistema o imponendo qualche cosa un vettore indipendente che funzioni.
vorrei poter discutere con voi su un esercizio di algebra lineare.
Ho un sottospazio W2 = L(e;f;g)
dove
e = (-1;1;5;4); f = (0;3;-2;1); g = (2;7;-16;-5)
Tra i vari punti:
e) Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 di R4 tale che W2⊕W3 = R4
Io ho pensato di fare così, ma è poco formale e in casi più complessi non so se funzionerebbe.
So che R4 ha dimensione 4, per grassman dim(W2+W3)-dim(W2 intersecato W3)=dim(W3)+dim(W2)
So che la somma diretta mi impone intersezione nulla per il teorema sulla sua caratterizzazione, quindi ho solo:
dim(W2+W3)=dim(W3)+dim(W2) -> deduco dim(W3) da trovare pari a 1.
E poi ho visto ad occhio il vettore indipendente.
Mi chiedevo però come trovare con un sistema o imponendo qualche cosa un vettore indipendente che funzioni.
Risposte
Visto che $\langle vec e,vecf,vecg\rangle$ sono linearmente dipendenti e in particolare generano il sottospazio $W_2 \subset RR^4$ di dimensione $2$, allora ti è sufficiente completare a una base di $RR^4$. Devi solamente scegliere due vettori che risultino linearmente indipendente con $e,f$ e formino un sottospazio di dimensione $2$, chiamiamoli $vec v, w$, tale che $W_3= \langle w,h \rangle$. Una scelta naturale potrebbe essere $\langle e_1,e_2 \rangle$, vettori della base canonica.
In questo modo avresti $4=dim(W_2+W_3)=dim(W_2)+dim(W_3)-dim(W_2 \cap W_3)=2+2-0=4$.
Evidentemente $dim(W_2 \cap W_3)=0$ poiché se l'intersezione fosse non vuota, allora esisterebbero coefficienti scalari $alpha,beta,gamma,delta$ tali che $alpha e + beta f = gamma w + delta h$. Portando tutto a primo membro, otteniamo $alpha e + beta f - gamma w - delta h=0$, e poiché ${e,f,w,h}$ li abbiamo scelti indipendenti, allora una loro combinazione lienare è nulla solo per la scelta di $alpha =beta=gamma=delta=0$. Pertanto l'intersezione è vuota.
In questo modo avresti $4=dim(W_2+W_3)=dim(W_2)+dim(W_3)-dim(W_2 \cap W_3)=2+2-0=4$.
Evidentemente $dim(W_2 \cap W_3)=0$ poiché se l'intersezione fosse non vuota, allora esisterebbero coefficienti scalari $alpha,beta,gamma,delta$ tali che $alpha e + beta f = gamma w + delta h$. Portando tutto a primo membro, otteniamo $alpha e + beta f - gamma w - delta h=0$, e poiché ${e,f,w,h}$ li abbiamo scelti indipendenti, allora una loro combinazione lienare è nulla solo per la scelta di $alpha =beta=gamma=delta=0$. Pertanto l'intersezione è vuota.
Grazie,
non ho solo ben capito come hai trovato w ed h, sei andato ad occhio?
Quel che mi dici mi torna tutto, avevo sbagliato la riduzione infatti e,f,g sono dipendenti.
Solo vorrei capire se ci fosse un modo di impostare un sistema o qualcosa per trovare w,h perché qui ad occhio si vede, ok, ma in casi più complessi una metodologia migliore mi farebbe comodo penso
non ho solo ben capito come hai trovato w ed h, sei andato ad occhio?
Quel che mi dici mi torna tutto, avevo sbagliato la riduzione infatti e,f,g sono dipendenti.
Solo vorrei capire se ci fosse un modo di impostare un sistema o qualcosa per trovare w,h perché qui ad occhio si vede, ok, ma in casi più complessi una metodologia migliore mi farebbe comodo penso
Sì ho preso due vettori, quelli più facili, tali che siano indipendenti con gli altri.
Quindi si fa sempre ad occhio insomma?
Non proprio...insomma dopo aver fatto quelle considerazioni si procede completando a base come visto sopra. Quella è l'unica cosa che puoi fare a occhio. Quello che devi fare invece ogni volta è calcoalre le dimensioni dei sottospazi che ti forniscono, per esempio
Esatto intendevo proprio per trovare la base per completamento: si fa ad occhio sempre o in casi più complessi posso architettare qualche altro modo?
Basta estrarre una base di $R^4$ da ${e,f, e_1, ..., e_4}$ ad esempio aiutandosi con una riduzione a scala della matrice $|e f e_1 ... e_4|$.
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