Un esercizio di topologia\geometria

[Claire**19]

Buonasera a tutta la comunità.
Consideriamo l'insieme delle matrici 2x2 simmetriche definite positive di determinante uguale a 1.
Mi servirebbe di dimostrare perchè questo insieme é un disco aperto.
Forse si può sfruttare il fatto che queste matrici sono simplettiche, ma non riesco a concludere. Deve esserci un modo facile di farlo vedere.
Aspetto suggerimenti!

[dissonance]

Un disco aperto in quale spazio? Di sicuro non nello spazio di tutte le matrici reali \(2 \times 2\).

[Claire**19]

No, infatti. Un disco aperto nel piano complesso.

[dissonance]

Non capisco. Dovresti spiegarci come fai ad identificare una matrice \( 2\times 2\) ad un numero complesso, per favore.

[j18eos]

Magari lo spazio topologico è \((\mathbb{C}^4;\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})\)?

[Claire**19]

In questo caso non so farlo. Per esempio, posso identificare il cerchio con il gruppo delle rotazioni del piano di angolo $ \alpha $ facendo corrispondere a ogni matrice di rotazione $ R_{\alpha} $ il numero complesso $ \cos \alpha + i \sin \alpha $. Mh, sono stata chiara?

[dissonance]

"j18eos":Magari lo spazio topologico è \((\mathbb{C}^4;\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})\)?

Se fosse così di sicuro il risultato sarebbe falso. Intuitivamente ciò è chiaro: se prendi una matrice simmetrica, definita positiva, di determinante \(1\), e la perturbi un pelino, di sicuro queste proprietà non le avrà più. Quanto meno, addio simmetria. Parlando più rigorosamente, l'insieme in questione è certamente chiuso in \(\mathbb{C}^4\), per la continuità del determinante, quindi non può essere pure aperto altrimenti staremmo contraddicendo la connessione di \(\mathbb{C}^4\), su cui non ci piove.

Io veramente penso che ci sia qualche errore da qualche parte nella traccia.

[j18eos]

Però sono anche definite positive oltre che simmetriche ed a determinante \(1\)! Mumble!

[dissonance]

"j18eos":Però sono anche definite positive oltre che simmetriche ed a determinante \(1\)! Mumble!

Peggio ancora. Ancora altre condizioni, che riducono ulteriormente la possibilità che l'insieme formi un aperto. Certo, a meno che non si stia parlando di qualche topologia strana, ma onestamente mi pare difficile. Se nella topologia scelta la funzione determinante è continua, allora questo insieme sarà sempre chiuso, cosicché per essere pure aperto dovrà succedere una delle due:

[*:2eplk19d]Lo spazio topologico in questione è... lo spazio delle matrici simmetriche, positive e di determinante 1. Banalissimamente allora il dato insieme è aperto in qualsiasi topologia noi si voglia considerare. [/*:m:2eplk19d]
[*:2eplk19d]Lo spazio topologico in questione è sconnesso. Il che mi pare strano, parlando di uno spazio di matrici.[/*:m:2eplk19d][/list:u:2eplk19d]

Ecco perché propendo per un errore nella traccia o un errore di interpretazione.