Un esercizio di topologia (scema!), ma che non riesco a fare

[Principe2]

Sia f:$R-{1}->{(x,y)\in R^2 t.c. y^2=x^2+x^3}$ definita da $f(t)=(t^2-1,t^3-t)$. Dopo aver osservato che f è continua e biiettiva (banale). Mostrare che per ogni $x\inR-{1}$ esiste un suo intorno U tale che la restrizione $f:U->f(U)$ è un omeomorfismo.

ciao

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Sia f:$R-{1}->{(x,y)\in R^2-{(0,0)} t.c. y^2=x^2+x^3}$ definita da $f(t)=(t^2-1,t^3-t)$. Dopo aver osservato che f è continua e biiettiva (banale).

C'è qualcosa che non va: $f(-1) = (0,0)$.

[Principe2]

hai ragione.. non bisogna togliere la coppia (0,0)... mi sono sbagliato a scrivere... ora ho corretto

[Sk_Anonymous]

Levami una curiosità... E' un compitino per casa che devi presentare al tuo professore, maybe?

[Principe2]

no.. sono esercizi presi dal libro del mio prof.. ma non devo consegnare nulla

[Sk_Anonymous]

Mostriamo innanzitutto che $f$ è ben definita. Per ogni $t \in \mathbb{R}$, vale infatti $(t^2 - 1)^2 + (t^2 - 1)^3 = (t^2-1)^2 \cdot (1 + t^2 - 1) = (t^3 - t)^2$, sicché $f(t) \in Y$, per ogni $t \in X$, se $X := \mathbb{R}\setminus\{1\}$ ed $Y := \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y^2 = x^2 + x^3\}$. Quindi proviamo che $f$ è iniettiva. Per assurdo, esistano infatti $u, v \in X$ distinti tali che $f(u) = f(v)$. Allora $u^2 - 1 = v^2 - 1$ ed $u^3 - u = v^3 - v$, i.e. $v = - u$ ed $u^3 - u = -u^3 + u$, viz $u\cdot (u^2 - 1) = 0$, e quindi $u = 0$ oppure $u= \pm 1$, assurdo! Dunque $f$ è iniettiva. Verifichiamo che è pure suriettiva. In tal senso, osserviamo che, se $(x,y) \in Y$, allora necessariamente $x \ge -1$ ed $y = \pm |x| \cdot (x+1)^{1/2}$, di modo che può porsi $Y = \{(x,\pm |x| \cdot (x+1)^{1/2}): x \ge -1\}$. Si tratta perciò di dimostrare che, per ogni $x \in [-1, +\infty[$, esiste $t \in X$ tale che $x = t^2 - 1$ e $\pm |x| \cdot (x+1)^{1/2} = t^3 - t$. Questo è banalmente ottenuto a mezzo della funzione $g: Y \to X$ definita assumendo $g(x,y) = -1$, se $x = 0$, e $g(x,y) = y/x = sgn(y) \cdot \frac{|x|}{x} \cdot (x+1)^{1/2}$, se $x \ne 0$, per ogni $(x,y) \in Y$.

[Principe2]

ok. Volevo chiarire che non mi permetterei mai, se non altro per rispetto verso me stesso, di farmi fare i compitini per casa. Detto questo: altri due esercizi poco più che scemi, ma sui quali al momento non ho idee...

1) Dire, motivando la risposta, se l'unione di due rette incidenti di $R^2$ può essere omeomorfa all'unione di due rette parallele

2) Sulle parti di N definiamo una topologia che ha per base, al variare di $A,B\subsetN$, $A,B$ finiti e disgiunti, la famiglia $U(A,B)={S\subsetNt.c.A\subsetS,S\capB=emptyset}$. Mostrare che con tale topologia la funzione f:$P(N)->R$ definita da $f(S)=\sum_{n\inS}10^{-n}$ è continua ed iniettiva.

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Sia f:$R-{1}->{(x,y)\in R^2 t.c. y^2=x^2+x^3}$ definita da $f(t)=(t^2-1,t^3-t)$. Dopo aver osservato che f è continua e biiettiva (banale). Mostrare che per ogni $x\inR-{1}$ esiste un suo intorno U tale che la restrizione $f:U->f(U)$ è un omeomorfismo.

Tu sei passato oltre, ma guarda che resta ancora da risolvere la seconda parte del problema... In pratica, si tratta di provare che $f$ e $g$ sono localmente continue, una volta riconosciuto che $g = f^{-1}$. Il che non presenta grosse difficoltà, senonché... Cosa?!

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":
1) Dire, motivando la risposta, se l'unione di due rette incidenti di $R^2$ può essere omeomorfa all'unione di due rette parallele.

Ovviamente no! Due rette incidenti formano un insieme connesso (la topologia è quella euclidea, suppongo). Due rette parallele e distinte no.

[Principe2]

1) ho letto velocemente e pensavo che una volta trovata l'inversa avessimo fatto...senonchè succedono un pò di casini quando x tende a 0.
2)hai ragione.. che scemo!!

[Thomas16]

"ubermensch":
2) Sulle parti di N definiamo una topologia che ha per base, al variare di $A,B\subsetN$, $A,B$ finiti e disgiunti, la famiglia $U(A,B)={S\subsetNt.c.A\subsetS,S\capB=emptyset}$. Mostrare che con tale topologia la funzione f:$P(N)->R$ definita da $f(S)=\sum_{n\inS}10^{-n}$ è continua ed iniettiva.

Iniettività: pare immediata...

Continuità: dato $b=f(S)$ della forma $0,b_1b_2b_3....$ con $b_i in 0,1$ e dato $epsilon$ reale, si devono trovare A e B t.c. $SinU(A,B)$ e per ogni "parte" $P$ di $N$ in $U(A,B)$ si abbia $|f(P)-f(S)|
Detto... fatto! Trovo prima $k$ naturale t.c. $10^(-k)
Definisco $A = (j $B = (j
Ora prendiamo un qualsiasi insieme $P$ in $U(A,B)$... questo conterrà sicuramente tutti gli elementi di $A$ ma non quelli di $B$. Quindi $f(P)$ coinciderà per costruzione con $f(S)$ per quanto riguarda le prime k-1 cifre. Ma allora $|f(P)-f(S)|<=10^(-k)
Facile che mi sia confuso comunque... dateci un'attenta occhiata