Un aiuto sulla diagonalizzabilità di una trasformazione lineare
ciao 
stavo ripassando la cinematica dei deformabili quando mi sono imbattuto nel tensore detto "delle piccole deformazioni"..
spiego: detti $\epsilon_I, \epsilon_(II), \epsilon_(III)$ i suoi autovalori, i suoi autovettori individuano invece le direzioni principali di deformazione.
vorrei, partendo da questo sotto-caso, "ritornare" a quanto insegnato dall'algebra (perdonate se chiedo banalità oppure i fondamentali di questi argomenti, ma l'esame l'ho fatto 2 anni fa, programma abbastanza risicato da 5 CFU...)
anzitutto: "diagonalizzare" una matrice una matrice significa trovarne gli autovalori risolvendo l'eq.carattestica, porli sulla diagonale di una matrice e poter cosi sfruttare l'uguaglianza delle matrici diagonalizzabili usufruendo di una matrice di trasporto P?
il mio dubbio è: gli autovettori di una matrice indicano allora le direzioni della trasformazione indotta dalla diagonalizzazione?
grazie
stavo ripassando la cinematica dei deformabili quando mi sono imbattuto nel tensore detto "delle piccole deformazioni"..
spiego: detti $\epsilon_I, \epsilon_(II), \epsilon_(III)$ i suoi autovalori, i suoi autovettori individuano invece le direzioni principali di deformazione.
vorrei, partendo da questo sotto-caso, "ritornare" a quanto insegnato dall'algebra (perdonate se chiedo banalità oppure i fondamentali di questi argomenti, ma l'esame l'ho fatto 2 anni fa, programma abbastanza risicato da 5 CFU...)
anzitutto: "diagonalizzare" una matrice una matrice significa trovarne gli autovalori risolvendo l'eq.carattestica, porli sulla diagonale di una matrice e poter cosi sfruttare l'uguaglianza delle matrici diagonalizzabili usufruendo di una matrice di trasporto P?
i suoi autovettori individuano invece le direzioni principali di deformazione.
il mio dubbio è: gli autovettori di una matrice indicano allora le direzioni della trasformazione indotta dalla diagonalizzazione?
grazie
Risposte
nessuno?
La diagonalizzabilita' e' un argomento centrale in algebra lineare. Ma prima di parlare di diagonalizzabilita' parliamo di autovettori; credo che sia piu' intuitivo partire con la definizione di autovettore, e attraverso quella definire gli autovalori e solo piu' tardi osservare che gli autovalori sono proprio le radici del polinomio caratteristico.
Evitero' di parlare di matrici. Parlero' di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$ (diciamo sul campo reale, quindi, una volta fissata una base, $V$ diventa proprio $\mathbb{R}^n$) e di trasformazioni lineari (che, una volta fissata una base, e' proprio una matrice).
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sia $L:V \to V$ una trasformazione lineare. Un autovettore di $L$ e' un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Lv = \lambda v$ per un scalare reale $\lambda$. Quindi gli autovettori sono quei vettori che vengono solo "riscalati" da $L$; $L$ non cambia la direzione di $v$, ma solo il suo modulo, e lo riscala di un fattore $\lambda$. Il valore $\lambda$ si chiama autovalore di $L$ associato all'autovettore $v$.
Evitero' di parlare di matrici. Parlero' di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$ (diciamo sul campo reale, quindi, una volta fissata una base, $V$ diventa proprio $\mathbb{R}^n$) e di trasformazioni lineari (che, una volta fissata una base, e' proprio una matrice).
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sia $L:V \to V$ una trasformazione lineare. Un autovettore di $L$ e' un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Lv = \lambda v$ per un scalare reale $\lambda$. Quindi gli autovettori sono quei vettori che vengono solo "riscalati" da $L$; $L$ non cambia la direzione di $v$, ma solo il suo modulo, e lo riscala di un fattore $\lambda$. Il valore $\lambda$ si chiama autovalore di $L$ associato all'autovettore $v$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo