Ultimi chiarimenti - Calcolo rango matrice

[Licia9]

Ho il seguente sistema che devo studiare al variare di $k$ su $R$

$\{(2kx + 3y + 2z = k+2),(4x +kz = k),(kx + z = 4-k):}$


Ho impostato la matrice $A=((2k,3,2),(4,0,k),(k,0,1))$

Ora quindi dovrei studiarne il rango.

scelgo il minore $|(3,2),(0,k)|$ che per $k!=0$ $2<=rgA<=3$ Avrei potuto scegliere anche $|(3,2),(0,1)|$ ?

quindi ora calcolo il determinante della matrice 3x3 incompleta e ottengo

$3k^2 - 12$

quindi per $k!=+-2$ rgA=3

Ora come devo procedere?
Sostituisco $+-2$ nella matrice completa per vedere cosa succede al rango?

[Raptorista1]

Dopo aver stabilito il rango in funzione di $k$ devi dire, al variare di $k$, quali sono le soluzioni [o almeno, questo è quello che penso significhi "studiare il sistema"] quindi devi esaminare tutti i casi possibili, cioè $k \ne \pm 2$, $k=2$ e $k=-2$.

[Camillo]

Essendo un sistema quadrato ( 3x3) potevi iniziare calcolando il determinante della matrice dei coefficienti e vedere per quali valori del parametro NON si annulla : in tal caso hai una e una sola soluzione che puoi ricavare con la regola di Cramer.
Esamina poi i valori per cui il determinante si annulla e applica il Teorema di Rouchè-Capelli che ti dice se ci sono soluzioni cioè se il sistema è compatibile o no.
Dopodichè puoi calcolarle in modo opportuno....

[Licia9]

Grazie ad entrambi per le risposte.

l determinante della matrice dei coefficienti non si annulla se $k!=+-2$

Ma come faccio ad applicare la regola di cramer se ho i parametri k?

[Camillo]

Nessun problema : il risultato sarà funzione di $k $ , se $k ne +-2 $ allora se ho fatto i conti giusti $x =( 3k-k^2)/(k^2-4) $ etc

[Licia9]

"Camillo":Nessun problema : il risultato sarà funzione di $k $ , se $k ne +-2 $ allora se ho fatto i conti giusti $x =( 3k-k^2)/(k^2-4) $ etc

Ho trovato

$x=((3k)(3-k))/(3k^2-12)$

$y=(3k^3-6k^2-12k+24)/(3k^2-12)$

$z=(3(k^2 + 4·k - 16))/(3k^2-12)$

sembrano numeri preoccupanti

[Camillo]

Il valore che hai trovato per $ x $ è corretto e coincide col mio : basta che raccogli $3 $ al denominatore e semplifichi.Gli altri non ho verificato..