Uguaglianza tra spazi vettoriali

[Flaviuz1]

Ciao a tutti, ho un dubbio su una questione basilare della geometria.
Sostanzialmente, spesso si ha come problema il dover dimostrare che, ad esempio, la somma $V+W$ di due sottospazi vettoriali di $RR^n$ è uguale a $RR^n$ stesso. Io ragiono così, ma non so se i miei calcoli siano sufficienti.
Si ha che, per definizione, $V+W={ u = v + w : v in V, w in W}$: da qui si può facilmente mostrare che i vettori $u$ appartengono a $RR^n$, e che quindi $V+W sube RR^n$. Il problema viene adesso: per dimostrare che $RR^n$ $sube V+W$ , è sufficiente che si abbia $dim(V+W)=n$, con anche $dim(RR^n)=n$, per poter dire che $RR^n$ $sube V+W$ , oppure devo anche dimostrare che
$forall (x_1,x_2,...,x_n) in RR^n: (x_1,x_2,...,x_n)=a_1 e_1 + ...+ a_n e_n$
dove $B={e_1,e_2,...,e_n}$ è una base di $V+W$, ovvero dimostrare che ogni vettore di $RR^n$ si scrive anche come combinazione lineare dei vettori della base di $V+W$?
Ovviamente poi chiedo anche se queste considerazioni si possono estendere a casi in cui si cui chieda di dimostrare un'uguaglianza tra spazi vettoriali nel caso in cui uno di questi non sia una somma di sottospazi o un insieme "noto" come $RR^n$.

Grazie in anticipo : )

[perplesso1]

Mah di solito basta che trovi una base di $ V $ e una base di $ W $, le unisci e poi le riduci per esempio con Gauss, se ti rimangono n vettori indipendenti allora $ V+W= R^n $ Esempio facciamo che $ V={(x,y,z) \in R^3 : x+y-z=0} $ e $ W = {(x,y,z) \in R^3 : x-y-z=0} $ allora $ B_V = {(1,0,1), (0,1,1)} $ mentre $ B_W= {(1,1,0),(1,0,1)} $ Uniamole e riduciamo con gauss

$ ((1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)) $

$ ((1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,0)) $

$ ((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)) $

$ ((1,0,1),(0,1,-1),(0,1,1),(0,0,0)) $

$ ((1,0,1),(0,1,-1),(0,0,2),(0,0,0)) $

La matrice ha tre gradini perciò $ V+W=R^3 $

[Flaviuz1]

Quindi è sufficiente verificare che la dimensione del sottospazio sia uguale a quella di quella di $RR^n$?

[perplesso1]

Si basta che verifichi che $ dim(V+W) =n $ Questo perchè $ R^n $ possiede un unico sottospazio di dimensione $ n $ ovvero se stesso

[dissonance]

"Flaviuz":per dimostrare che $RR^n$ $sube V+W$ , è sufficiente che si abbia $dim(V+W)=n$, con anche $dim(RR^n)=n$

Si. Questo è un teorema:

Teorema In uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita \(n\), l'unico sottospazio vettoriale di dimensione \(n\) è \(V\) stesso.

(ovvero quello che dice perplesso nell'ultimo post). Non è una cosa ovvia, ma una importante proprietà degli spazi vettoriali di dimensione finita. La dimostrazione di questo teorema è una "black box" che fa in automatico il seguente passaggio:

ovvero dimostrare che ogni vettore di \(\mathbb{R}^n\) si scrive anche come combinazione lineare dei vettori della base di \(V+W\)

[Flaviuz1]

Ok, grazie ad entrambi.
in conclusione, però, non ho capito una cosa: se $dim(V+W)=dim(RR^n)$ si dimostra solo che $RR^n sube V+W$, o direttamente che $V+W=RR^n$? Perchè nel primo caso, che a quanto ho capito è quello corretto, si dovrebbe comunque dimostrare che $V+W sube RR^n$...

[dissonance]

"Flaviuz":si dovrebbe comunque dimostrare che $V+W sube RR^n$...

Ma questo è completamente ovvio.