Uguaglianza e inclusione tra sottospazi, endomorfismo

[Nico769]

Salve ragazzi,
sto avendo delle difficoltà nel seguente esercizio e vi sarei molto grato se mi deste qualche indizio

Assegnato l'endomorfismo:
\(\displaystyle f:(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \rightarrow (x-z,2z,x+3z) \in \mathbb{R}^{3} \)

e il sottospazio \(\displaystyle W_{h}= \mathcal{L}[(-1,1,1),(-5,0,h)] \) con $h \in \mathbb{R}$

a) Determinare i valori di $h$ tali che $W_{h}= Im f$
b) Determinare i valori di $h$ tali che $Ker f \subseteq W_{h}$
c) Dire se $\mathbb{R}^3 = Imf\oplus Kerf$

Per il punto a), ho pensato di verificare che le basi dei due sottospazi siano uguali. Se lo sono, per qualche valore di $h$, allora $W_{h}= Im f$. E' corretto? Non mi convince moltissimo..

Per il punto b), piu o meno lo stesso di a)..

Per il punto c), direi di si, visto che $dim(kerf \cap Imf )=0$.

Grazie ancora per eventuali risposte

[garnak.olegovitc1]

@Nico769,
ti scrivo senza aver affrontato l'esercizio:
il punto b) lo avrei risolto vedendo se i generatori del \( \ker(f)\) sono contenuti in \( W_h\)
il punto a) lo avrei risolto vedendo se i generatori di \(\operatorname{im}(f) \) sono contenuti in \(W_h\), e viceversa

[Nico769]

Ciao,
Innanzitutto, grazie per la risposta, mi hai illuminato . Vediamo se ho capito [ inizio col punto a), credo sia più cruciale].

Per verificare che $Imf\subseteq W_{h}$, devo risolvere tre sistemi che posso ricavare da qui:

$(1,0,-1)=a(-1,1,1)+b(-5,0,h)$
$(0,0,2)=a(-1,1,1)+b(-5,0,h)$
$(1,0,3)=a(-1,1,1)+b(-5,0,h)$

Se anche uno solo di questi sistemi è impossibile, allora non è vero $Imf\subseteq W_{h}$ (giusto?)

Mentre, per verificare il viceversa, $W_{h}\subseteqImf $:

$(-1,1,1)=a(1,0,-1)+b(0,0,2)+c(1,0,3)$
$(-5,0,h)=a(1,0,-1)+b(0,0,2)+c(1,0,3)$

dove, anche qui, vale ciò detto sopra. E' tutto corretto? E come "gestisco" quell'$h$ quando trovo la soluzione di ogni sistema?

Ad esempio, per $(1,0,-1)=a(-1,1,1)+b(-5,0,h)$, ho trovato $a=0$, $b=- \frac{1}{5}$, e ancora $b=- \frac{1}{h}$. Per avere una soluzione valida, $h$ deve essere uguale a $5$?

Ultima cosa: non ho ben capito perchè abbiamo considerato i generatori dei relativi sottospazi e non le basi, come avevo provato io in partenza .

Ancora tante grazie per il tuo tempo

EDIT:

Ecco il punto b): dato che $\mathcal{L}[(0,y,0)]$ è un sistema di generatori di $Kerf$, con $y \in \mathbb{R}$ parametro ,scrivo:

$(0,y,0)=a(-1,1,1)+b(-5,0,h)$

Risolvendo ottengo $a=y$, $b=-\frac{y}{5}$ e $b=-\frac{y}{h}$. Allora posso concludere che $Ker f \subseteq W_{h}$ quando $h=5$, giusto?

[Nico769]

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