$U^_|_+W^_|_=(U nn W)^_|_$?
Siano U,W sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita dotato di prodotto scalare.
Dimostrare che $U^_|_+W^_|_=(U nn W)^_|_$.
Dimostrare che $U^_|_+W^_|_=(U nn W)^_|_$.
Risposte
beh inizia magari a dire qual è la tua idea, dove hai difficoltà....
una inclusione mi sembra ovvia!
ciao
una inclusione mi sembra ovvia!
ciao
Appunto,con questo non ho proprio idee!Mi sembra di un altro livello francamente rispetto a quello che ho incontrato e non ho la soluzione.
Beh devi dimostrare una doppia inclusione:
Intanto prova a dimostrare che un elemento che sta in $U^_|_ + W^_|_$ allora sta anche nell'ortogonale dell'intersezione:
per farlo ti suggererei di scrivere un generico vettore che sta $U^_|_ + W^_|_$ e scomporlo in una parte che sta in $U^_|_$ e in una che sta in $W^_|_$, e poi magari cercare che ne so, di fare il prodotto scalare di questo generico vettore con un vettore dell'intersezione: se l'inclusione è vera allora il prodotto scalare come deve essere? allo stesso modo si dimostra l'altra inclusione (questi esercizi si fanno sempre così)
Intanto prova a dimostrare che un elemento che sta in $U^_|_ + W^_|_$ allora sta anche nell'ortogonale dell'intersezione:
per farlo ti suggererei di scrivere un generico vettore che sta $U^_|_ + W^_|_$ e scomporlo in una parte che sta in $U^_|_$ e in una che sta in $W^_|_$, e poi magari cercare che ne so, di fare il prodotto scalare di questo generico vettore con un vettore dell'intersezione: se l'inclusione è vera allora il prodotto scalare come deve essere? allo stesso modo si dimostra l'altra inclusione (questi esercizi si fanno sempre così)
Mmh,il prodotto deve essere non nullo,ma non ne vedo la ragione.Forse perche prendendo l'ortogonale dell'intersezione prendo dei vettori che stanno cmq negli ortogonali di U e W?MMh non riesco a procedere.
ti faccio una inclusione poi l'altra è del tutto simile...
allora mostriamo che $A=U^_|_ +W^_|_\subset (U\cap W)^_|_$
sia $u+w\in A$ allora per dimostrare che sta in $U\cap W$ bisogna che $(u+w,z)=0$ per ogni $z\in U\cap W$ dove con $(,)$ intendo il prodotto scalare
ma questo è ovvio in quanto $(u+w,z)=(u,z)+(w,z)=0+0=0$
spero che adesso sia chiaro.
l altra inclusione è analoga
allora mostriamo che $A=U^_|_ +W^_|_\subset (U\cap W)^_|_$
sia $u+w\in A$ allora per dimostrare che sta in $U\cap W$ bisogna che $(u+w,z)=0$ per ogni $z\in U\cap W$ dove con $(,)$ intendo il prodotto scalare
ma questo è ovvio in quanto $(u+w,z)=(u,z)+(w,z)=0+0=0$
spero che adesso sia chiaro.
l altra inclusione è analoga
Scusate la mia intrusione,facendo algebra e geometria, non ho mai visto una scrittura così: $U^_|_$
Potete spiegarmi,per favore, cosa vuol dire questa notazione?
Potete spiegarmi,per favore, cosa vuol dire questa notazione?
Se $U\subset V$ è un sottospazio vettoriale di uno spazio $V$ dotato del prodotto scalare $(\ ,\ )$, allora per definizione
$U^\bot=\{w\in V\ :\ (w,u)=0,\ \forall\ u\in U\}$
e si dice complemento ortogonale di $U$ in $V$.
$U^\bot=\{w\in V\ :\ (w,u)=0,\ \forall\ u\in U\}$
e si dice complemento ortogonale di $U$ in $V$.
Grazie per la tua risposta, ciampax!
Un modo più generale di vederlo usa la dualità canonica:
se $V$ è spazio vett di dimensione finita su $k$, definiamo $\hat V := Hom(V,k)$ e la mappa bilineare non degenere
$\circ : \hat V\times V\to k$
che manda la coppia $(\zeta,v)$ in $\zeta(v)\in k$
$U^\bot := \{\zeta\in \hat V | \circ(\zeta,u) =\zeta(u)=0, \forall u \in U\}$
La ragione principe per cui accade che le nozioni di intersezione\unione e contenente\contenuto vengano scambiate è che la dualità canonica induce un antisomorfismo involutorio tra la struttura di reticolo di $V$ e quella del suo duale...
se $V$ è spazio vett di dimensione finita su $k$, definiamo $\hat V := Hom(V,k)$ e la mappa bilineare non degenere
$\circ : \hat V\times V\to k$
che manda la coppia $(\zeta,v)$ in $\zeta(v)\in k$
$U^\bot := \{\zeta\in \hat V | \circ(\zeta,u) =\zeta(u)=0, \forall u \in U\}$
La ragione principe per cui accade che le nozioni di intersezione\unione e contenente\contenuto vengano scambiate è che la dualità canonica induce un antisomorfismo involutorio tra la struttura di reticolo di $V$ e quella del suo duale...
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