Tutte le isometrie sono bigettive?
Salve a tutti,
stavo studiando la nozione di "simmetria". Su libro che sto usando (Bhattacharya - Abstract algebra) ho trovato queste definizioni:
DEF: Siano $X,Y$ spazi metrici. Una "isometria" di $X,Y$ è un applicazione $f:X\to Y$ che conserva la distanza.
OSS: Ogni isometria è iniettiva.
DEF: Sia $X$ uno spazio metrico. Una "simmetria" di $X$ è una isometria $f:X\to X$ surgettiva.
Mi chiedevo se per caso la condizione di surgettività non fosse superflua.
Infatti, riguardando appunti vari di geometria 1, ho notato che, nel caso particolare in cui $X=R^n$, tutte e sole le isometrie di X sono del tipo $f(x)=Ax+b$ con $A$ matrice ortogonale. In particolare, ogni isometria è un affinità e quindi è invertibile.
Quindi, almeno nel caso di $R^n$, l'insieme delle isometrie e l'insieme delle simmetrie coincidono
PS: Siccome il punto in cui di arrivo è la definizione di gruppo diedrale, pensavo di poder dare la seguente definizione (che a me piace di più
):
DEF: Sia $n\in N$. Si chiama "gruppo diedrale di grado $n$" l'insieme delle isometrie che mandano un poligono regolare di $n$ lati in se stesso.
anzichè questa:
DEF: Sia $n\in N$. Si chiama "gruppo diedrale di grado $n$" l'insieme delle simmetrie che mandano un poligono regolare di $n$ lati in se stesso.
Grazie a tutti.
stavo studiando la nozione di "simmetria". Su libro che sto usando (Bhattacharya - Abstract algebra) ho trovato queste definizioni:
DEF: Siano $X,Y$ spazi metrici. Una "isometria" di $X,Y$ è un applicazione $f:X\to Y$ che conserva la distanza.
OSS: Ogni isometria è iniettiva.
DEF: Sia $X$ uno spazio metrico. Una "simmetria" di $X$ è una isometria $f:X\to X$ surgettiva.
Mi chiedevo se per caso la condizione di surgettività non fosse superflua.
Infatti, riguardando appunti vari di geometria 1, ho notato che, nel caso particolare in cui $X=R^n$, tutte e sole le isometrie di X sono del tipo $f(x)=Ax+b$ con $A$ matrice ortogonale. In particolare, ogni isometria è un affinità e quindi è invertibile.
Quindi, almeno nel caso di $R^n$, l'insieme delle isometrie e l'insieme delle simmetrie coincidono
PS: Siccome il punto in cui di arrivo è la definizione di gruppo diedrale, pensavo di poder dare la seguente definizione (che a me piace di più
):DEF: Sia $n\in N$. Si chiama "gruppo diedrale di grado $n$" l'insieme delle isometrie che mandano un poligono regolare di $n$ lati in se stesso.
anzichè questa:
DEF: Sia $n\in N$. Si chiama "gruppo diedrale di grado $n$" l'insieme delle simmetrie che mandano un poligono regolare di $n$ lati in se stesso.
Grazie a tutti.
Risposte
A parte che nel caso in cui tu stia immergendo isometricamente un sottospazio di $R^n$ nell'ambiente, quella immersione darebbe un'isometria non suriettiva. Ma il punto e' che le isometrie sono definite per spazi metrici qualsiasi, dove la funzione "distanza tra due punti" puo' anche non essere indotta da un prodotto scalare (quindi quelle considerazioni legate alla struttura lineare degli spazi vanno a quel paese).
"killing_buddha":
A parte che nel caso in cui tu stia immergendo isometricamente un sottospazio di $R^n$ nell'ambiente, quella immersione darebbe un'isometria non suriettiva. Ma il punto e' che le isometrie sono definite per spazi metrici qualsiasi, dove la funzione "distanza tra due punti" puo' anche non essere indotta da un prodotto scalare (quindi quelle considerazioni legate alla struttura lineare degli spazi vanno a quel paese).
Non ho capito cosa vuoi dire. Puoi essere un po' più esplicito?
Anzitutto cos'e' uno spazio metrico $(X,d)$? Un insieme dotato di una funzione $d : X\times X\to \mathbb R$ tale che valgano queste condizioni. Allora una isometria tra spazi metrici $(X,d)\to (Y,h)$ e' una funzione $f : X\to Y$ tale che il seguente diagramma sia commutativo:
- [tex]\xymatrix{
X\times X \ar[r]^{f\times f}\ar[d]_d & Y\times Y\ar[d]^h \\
\mathbb R\ar@{=}[r] & \mathbb R
}[/tex][/list:u:nvxefdv0]
Dunque una isometria e' iniettiva perche' [tex]f(x)=f(x')[/tex] iff [tex]h(f(x),f(x'))=0[/tex] iff [tex]d(x,x')=0[/tex] iff $x=x'$.
Prendi adesso un qualsiasi insieme $X$ con piu' di un elemento, ovvero tale che per ogni $x\in X$ $X\setminus\{x\}$ sia non vuoto: allora, scelto un elemento a caso di $X$, la (ma in realta', ogni) funzione [tex]f_x\colon \{x\}\to X[/tex] e' un'isometria non suriettiva.
Sì, ma la tua funzione non è del tipo $E$ in $E$; è del tipo $E$ in $X$.
In altri termini, vorrei capire se:
1) $X$ spazio metrico qualunque, $f:X\toX$ isometria $\Rightarrow$ $f$ suriettiva?
2) $X=R^n$ , $f:X\toX$ isometria $\Rightarrow$ $f$ suriettiva?
Dalle considerazioni che ho fatto prima, direi che la risposta alla 2) è sì. Non so per la 1).
1) $X$ spazio metrico qualunque, $f:X\toX$ isometria $\Rightarrow$ $f$ suriettiva?
2) $X=R^n$ , $f:X\toX$ isometria $\Rightarrow$ $f$ suriettiva?
Dalle considerazioni che ho fatto prima, direi che la risposta alla 2) è sì. Non so per la 1).
Se ne parla qui. L'esempio dato in quella risposta, seppur abbastanza semplice, avviene in spazi più generali di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Il problema di spazi semplici è che possiedono molte strutture sovrapposte che quindi aggiungono belle proprietà.
Per \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) si dovrebbe cercare in isometrie non-lineari e perciò piuttosto tecniche.
Per \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) si dovrebbe cercare in isometrie non-lineari e perciò piuttosto tecniche.
Allora era espresso male, oppure io ho capito male: comunque la risposta a (1) e' no, basta prendere una endofunzione iniettiva a caso, per X infinito dotato della (di una qualsiasi) metrica discreta per cui $d_\alpha(x,y)=0$ se $x,y$ sono uguali e $\alpha\ge 0$ (ad esempio, 1) altrimenti. Per esempio la moltiplicazione per 2 negli interi, oppure quella per $\zeta(2)$ nei reali, sono isometrie (che sono anche lineari, guarda un po'!) non suriettive, sostanzialmente perche' le metriche sono sufficientemente bislacche (ovvero non sono bilineari, anche se l'insieme su cui agiscono ha una struttura lineare).
Ti convince?
Ti convince?
Non è necessario che ci sia una metrica discreta o strana. Possiamo per esempio considerare come spazio metrico l'insieme dei numeri reali non negativi con la solita metrica e considerare qualsiasi traslazione per un valore positivo non nullo. Tutti i numeri reali minori di questo valore positivo non saranno contenuti nell'immagine. Credo si possa però dimostrare la suriettività nel caso di sottoinsiemi compatti di \(\mathbb R^n\) ma non ci ho pensato più di tanto.
"killing_buddha":
Allora era espresso male, oppure io ho capito male: comunque la risposta a (1) e' no, basta prendere una endofunzione iniettiva a caso, per X infinito dotato della (di una qualsiasi) metrica discreta per cui $d_\alpha(x,y)=0$ se $x,y$ sono uguali e $\alpha\ge 0$ (ad esempio, 1) altrimenti. Per esempio la moltiplicazione per 2 negli interi, oppure quella per $\zeta(2)$ nei reali, sono isometrie (che sono anche lineari, guarda un po'!) non suriettive, sostanzialmente perche' le metriche sono sufficientemente bislacche (ovvero non sono bilineari, anche se l'insieme su cui agiscono ha una struttura lineare).
Ti convince?
Sì, grazie!
E per la 2) ? Il mio ragionamento ti sembra corretto?
PS: Naturalmente, quando dico "isometria $f:R^n\toR^n$" intendo $R^n$ con la distanza Euclidea.
PPS: considerando quanto scritto da apatriarca, se considero ad esempio l'applicazione $f:[0,+ \infty[ \to [0,+ \infty[$ tale che $x \to x+1$ otteniamo una isometria definita su un sottoinsieme proprio di $R^n$ a valori nello stesso sottoinsieme, non suriettiva. Naturalmente, questo esempio è interessante, però non costituisce un controesempio alla 2) perchè io pretendo che la funzione sia definita su tutto $R^n$.
Da \(\mathbb R^n\) in se stesso non mi vengono in mente controesempi e forse non sono in effetti possibili. Il punto 1 è però certamente falso. Ma non vedo quale sia il problema di definire le simmetrie come isometrie suriettive dall'insieme in se stesso e definire tutto usando questo termine.
Non è che ci sia proprio un "problema"; è solo che se devo dare una definizione mi piace darla con le condizioni più essenziali. In particolare mi riferisco alle simmetrie di $R^2$ in $R^2$, su cui si appoggia la definizione di gruppo diedrale. Ho visto che in altri testi (rispetto a quello che ho citato) il gruppo diedrale viene definito riferendosi alle sole isometrie e non alle isometrie surgettive. Questo mi ha fatto sorgere il dubbio che forse la surgettività era una condizione ridondante; da qui la mia domanda sul forum.
Alla luce dell considerazioni fatte, probabilmente si può fare perchè nel caso di $R^n$ con la distanza euclidea le due cose sono equivalenti. Tutto qui.
Alla luce dell considerazioni fatte, probabilmente si può fare perchè nel caso di $R^n$ con la distanza euclidea le due cose sono equivalenti. Tutto qui.
Una isometria di $RR^n$ che fissa l'origine e' automaticamente lineare.
Questo implica facilmente che una isometria arbitraria di $RR^n$ e' per forza biiettiva.
Questo implica facilmente che una isometria arbitraria di $RR^n$ e' per forza biiettiva.
"Stickelberger":
Una isometria di $RR^n$ che fissa l'origine e' automaticamente lineare.
Questo implica facilmente che una isometria arbitraria di $RR^n$ e' per forza biiettiva.
Grazie.
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