Trovare vettore appartenente somma no unione
Salve a tutti, mi sono trovato davanti un esercizio che chiedeva: Dati U=Span{(1, -1, 2, -2), (3, -2, -3, 2), (3, -1, -2, 0)} e W=Span{(2, -1, -1, 0), (0, 0, 0, 2), (4, -2, -2, 2)} trovare, se esiste, un vettore v appartenente allo spazio somma U+W ma non appartenente all'unione insiemistica U U W.
Io non so come procedere ho pensato dato che $v\inU+W$ è $v=u+w$ con $u\inU$ e $w\inW$ allora v può essere (1, -1, 2, -2)+(2, -1, -1, 0)=(3, -2, 1, -2)???
Io non so come procedere ho pensato dato che $v\inU+W$ è $v=u+w$ con $u\inU$ e $w\inW$ allora v può essere (1, -1, 2, -2)+(2, -1, -1, 0)=(3, -2, 1, -2)???
Risposte
I generatori di $ U $ sono linearmente indipendenti e la matrice che ha sulle sue righe tali vettori e il vettore $ \mathbf{v} $ da te indicato ha rango $ 3 $, pertanto $ \mathbf[v} \in U \subseteq U \cup W $ e quindi non va bene.
Per trovare un vettore adatto, deve succedere che $ \mathbf{v} \in U + W $ e allo stesso tempo $ \mathbf{v} \notin U $ e $ \mathbf{v} \notin W $.
Per trovare un vettore adatto, deve succedere che $ \mathbf{v} \in U + W $ e allo stesso tempo $ \mathbf{v} \notin U $ e $ \mathbf{v} \notin W $.
scusa ma non riesco a capire, ho provato a fare delle prove ma non capisco, e perchè dici che $v$ da me indicato ha rango 3?
ho rivisto un po' la teoria e secondo me dovrei prendere un vettore di $U$ che non è combinazione lineare di $W$ e viceversa per poi sommarli ed ottenere $v\in V+W$ ma non nell'unione
ho rivisto un po' la teoria e secondo me dovrei prendere un vettore di $U$ che non è combinazione lineare di $W$ e viceversa per poi sommarli ed ottenere $v\in V+W$ ma non nell'unione
"Domodossola":
scusa ma non riesco a capire, ho provato a fare delle prove ma non capisco, e perchè dici che $v$ da me indicato ha rango 3?
Non ci siamo capiti.
La matrice quadrata di ordine $ 4 $ che ha sulle sue prime tre righe le componenti dei generatori di $ U $ e come quarta riga quelle di $ \mathbf{v} $ ha rango $ 3 $.
ok viene di rango $3$ quindi devo trovare un vettore che in questa matrice ha ordine $4$ e in quella che ottengo prendendo in considerazione i vettori di $W$ abbia rango $3$?
Esattamente.
In particolare, abbiamo
\[ M_U = \pmatrix{1 & −1 & 2 & −2 \\ 3 & −2 & −3 & 2 \\ 3 & −1 & −2 & 0} \qquad \qquad M_W = \pmatrix{2 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 4 & −2 & −2 & 2} \]
dove \( r \ (M_U) = 3 \) e \( r \ (M_W) = 2 \).
Poiché \( r \ (M_W) = 2 \) possiamo considerare la matrice
\[ M_W* = \pmatrix{M_W^{(1)} \\ M_W^{(2)}} \]
anziché $ M_W $ (\( M_W^{(i)} \) è l'\( i \)-sima riga di \( M_W \)).
Sia \( \mathbf{v} \in U + W \) e consideriamo le matrici
\[ M_{U,\mathbf{v}} = \pmatrix{ M_U \\ ^t[\mathbf{v}]_C} \qquad \qquad M_{W,\mathbf{v}} = \pmatrix{ M_W* \\ ^t[\mathbf{v}]_C} \]
dove \( C \) è la base canonica di \( V \) (cioè dello spazio vettoriale di cui $ U $ e $ W $ sono sottospazi).
Affinché il vettore \( \mathbf{v} \) scelto vada bene, deve essere
\[ \cases{ r \; (M_{U,\mathbf{v}}) > r \; (M_U) \\ r \; (M_{W,\mathbf{v}}) > r \; (M_W*)} \]
In particolare, abbiamo
\[ M_U = \pmatrix{1 & −1 & 2 & −2 \\ 3 & −2 & −3 & 2 \\ 3 & −1 & −2 & 0} \qquad \qquad M_W = \pmatrix{2 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 4 & −2 & −2 & 2} \]
dove \( r \ (M_U) = 3 \) e \( r \ (M_W) = 2 \).
Poiché \( r \ (M_W) = 2 \) possiamo considerare la matrice
\[ M_W* = \pmatrix{M_W^{(1)} \\ M_W^{(2)}} \]
anziché $ M_W $ (\( M_W^{(i)} \) è l'\( i \)-sima riga di \( M_W \)).
Sia \( \mathbf{v} \in U + W \) e consideriamo le matrici
\[ M_{U,\mathbf{v}} = \pmatrix{ M_U \\ ^t[\mathbf{v}]_C} \qquad \qquad M_{W,\mathbf{v}} = \pmatrix{ M_W* \\ ^t[\mathbf{v}]_C} \]
dove \( C \) è la base canonica di \( V \) (cioè dello spazio vettoriale di cui $ U $ e $ W $ sono sottospazi).
Affinché il vettore \( \mathbf{v} \) scelto vada bene, deve essere
\[ \cases{ r \; (M_{U,\mathbf{v}}) > r \; (M_U) \\ r \; (M_{W,\mathbf{v}}) > r \; (M_W*)} \]
ok quindi 3.-8.0.0 va bene?
E i passaggi dove sono?
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