Trovare versore proporzionale a vettore
L'esercizio mi chiede di trovare un versore proporzionale al vettore $vec v = ( 3, 0, 4 )$.
Io so che due vettori sono proporzionali se uno si ottiene dall'altro mediante prodotto con scalare: $vec w = vec v * h$.
E so che ogni vettore è proporzionale ad un versore tale che: $vec v = vec e * ||vec v||$.
Perciò io ho ragionato in questo modo ed ho trovato che:
$||vec v|| = 5$
$( 3, 0, 4 ) = 5 ( a, b, c )$
E quindi $vec e = ( 3/5 , 0 , 4/5 )$.
Non sono sicuro affatto dell'esattezza, potreste aiutarmi e dirmi se è esatto? Vi ringrazio!
Io so che due vettori sono proporzionali se uno si ottiene dall'altro mediante prodotto con scalare: $vec w = vec v * h$.
E so che ogni vettore è proporzionale ad un versore tale che: $vec v = vec e * ||vec v||$.
Perciò io ho ragionato in questo modo ed ho trovato che:
$||vec v|| = 5$
$( 3, 0, 4 ) = 5 ( a, b, c )$
E quindi $vec e = ( 3/5 , 0 , 4/5 )$.
Non sono sicuro affatto dell'esattezza, potreste aiutarmi e dirmi se è esatto? Vi ringrazio!
Risposte
Certo che è giusto!
Perché ne dubitavi?
Perché ne dubitavi?
Ad una settimana dall'esame dubito di qualsiasi cosa! L'insicurezza mi assale.
Esercizio simile che non sono affatto riuscito a calcolare:
mi chiede di trovare due vettori $vec v_2$ e $vec v_3$ tale che la matrice le cui righe sono questi due vettori e il vettore $vec v = (3, 0, 4)$ è ortogonale.
So che una matrice è ortogonale se $A^t = A^(-1)$ ma non so come procedere!
Esercizio simile che non sono affatto riuscito a calcolare:
mi chiede di trovare due vettori $vec v_2$ e $vec v_3$ tale che la matrice le cui righe sono questi due vettori e il vettore $vec v = (3, 0, 4)$ è ortogonale.
So che una matrice è ortogonale se $A^t = A^(-1)$ ma non so come procedere!
"Mr.Mazzarr":
Ad una settimana dall'esame dubito di qualsiasi cosa! L'insicurezza mi assale.
E ricacciala dietro, porca paletta!
Ormai sei grande: un po' di sicurezza!
"Mr.Mazzarr":
Esercizio simile che non sono affatto riuscito a calcolare:
mi chiede di trovare due vettori $vec v_2$ e $vec v_3$ tale che la matrice le cui righe sono questi due vettori e il vettore $vec v = (3, 0, 4)$ è ortogonale.
So che una matrice è ortogonale se $A^t = A^(-1)$ ma non so come procedere!
A posto con la definizione, però essa non è che ti aiuta poi tanto, formulata così sinteticamente.
Si dimostra che \(A\) è ortogonale se e solo se sono le sue colonne/righe costituiscono un sistema di vettori ortonormali, i.e. se esse sono a due a due ortogonali ed hanno modulo unitario.
Quindi l'esercizio, semplicemente, ti sta chiedendo di determinare due vettori \(\mathbf{v}_1\) e \(\mathbf{v}_2\) in modo che essi siano ortogonali tra loro, che entrambi siano ortogonali a \(\mathbf{v}\) e che abbiano modulo unitario; ciò significa che \(\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2 =0\), \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}_1 =0\), \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}_2 =0\), in cui \(\cdot\) è il prodotto scalare, e \(|\mathbf{v}|=|\mathbf{v}_1|=|\mathbf{v}_2|=1\).
Qui apro una piccola parentesi: per costruire la matrice c'è bisogno che \(\mathbf{v}\) abbia modulo \(1\); quindi non devi prendere \(\mathbf{v}\) come dice il testo dell'esercizio, ma il versore \(\mathbf{e}\) che hai calcolato prima.
Ora, determinare un versore \(\mathbf{v}_1\) ortogonale a \(\mathbf{e}\) è semplicissimo (e non servono conti, si fa "a occhio"); la cosa un po' più complicata è scegliere un versore ortogonale sia a \(\mathbf{v}_1\) che ad \(\mathbf{e}\)... Ma ciò si fa scrivendo esplicitamente i prodotti scalari ed usando un po' di fantasia.
P.S.: No, non è stata la mia prof... Però conosco i fascicoli, perché ne ho risolto alcuni esercizi con miei studenti.
Credo d'aver capito l'esercizio! Grazie gugo!
Riuppo un attimo il topic gugo, perchè non mi trovo con una cosa che hai scritto..
Tu hai detto che per essere ortogonale, devono essere due a due ortogonali, ovvero il prodotto scalare deve essere uguale a $0$. Però, dopo hai scritto che la loro norma deve essere uguale a $1$, ma non mi trovo con la teoria. Se fossero tutti versori, $A$ sarebbe ortonormale e non ortogonale. No?
P.s.
Intanto ho provato a calcolare un vettore $vec e_2$ ortogonale al vettore $vec e$ calcolato in precedenza.
Affinchè il prodotto scalare sia $0$, il coseno dell'angolo tra loro compreso deve essere $0$. Così ho eguagliato l'equazione del coseno a $0$:
$cos theta = 0$ $->$ $(vec e * vec e_2)/(|vec e| * |vec e_2|) = 0$
Al numero è 1, quindi mi trovo un'equazione lineare del tipo $3/5a + 0b + 4/5c = 0$, e, ponendo un arbitrario $c = 1$, mi trovo $vec e_2 = (4/3, 0, 1)$.
Cosa ne pensi?
Tu hai detto che per essere ortogonale, devono essere due a due ortogonali, ovvero il prodotto scalare deve essere uguale a $0$. Però, dopo hai scritto che la loro norma deve essere uguale a $1$, ma non mi trovo con la teoria. Se fossero tutti versori, $A$ sarebbe ortonormale e non ortogonale. No?
P.s.
Intanto ho provato a calcolare un vettore $vec e_2$ ortogonale al vettore $vec e$ calcolato in precedenza.
Affinchè il prodotto scalare sia $0$, il coseno dell'angolo tra loro compreso deve essere $0$. Così ho eguagliato l'equazione del coseno a $0$:
$cos theta = 0$ $->$ $(vec e * vec e_2)/(|vec e| * |vec e_2|) = 0$
Al numero è 1, quindi mi trovo un'equazione lineare del tipo $3/5a + 0b + 4/5c = 0$, e, ponendo un arbitrario $c = 1$, mi trovo $vec e_2 = (4/3, 0, 1)$.
Cosa ne pensi?
"Mr.Mazzarr":
Tu hai detto che per essere ortogonale, devono essere due a due ortogonali, ovvero il prodotto scalare deve essere uguale a $0$. Però, dopo hai scritto che la loro norma deve essere uguale a $1$, ma non mi trovo con la teoria. Se fossero tutti versori, $A$ sarebbe ortonormale e non ortogonale. No?
Ritengo che sia una questione di definizione.
Io sono abituato a chiamare ortogonali le matrici tali che \(A^T=A^{-1}\); si dimostra che \(A\) è ortogonale se e solo se le sue righe/colonne formano una base ortonormale di \(\mathbb{R}^n\).
Che definizione ti viene data di matrice ortogonale?
"Mr.Mazzarr":
P.s.
Intanto ho provato a calcolare un vettore $vec e_2$ ortogonale al vettore $vec e$ calcolato in precedenza.
Affinchè il prodotto scalare sia $0$, il coseno dell'angolo tra loro compreso deve essere $0$. Così ho eguagliato l'equazione del coseno a $0$:
$cos theta = 0$ $->$ $(vec e * vec e_2)/(|vec e| * |vec e_2|) = 0$
Al numero è 1, quindi mi trovo un'equazione lineare del tipo $3/5a + 0b + 4/5c = 0$, e, ponendo un arbitrario $c = 1$, mi trovo $vec e_2 = (4/3, 0, 1)$.
Cosa ne pensi?
Perché ti complichi la vita?
Ti basta prendere \(a=0=c\) e \(b=1\) per ottenere un versore ortogonale a \(\mathbf{e}\).
Chiedo venia, ho fatto confusione con un insieme di vettori ortogonali o ortonormali!
Ad esempio, mi chiede di calcolare un insieme ortogonale (quindi vettori due a due ortogonali, ma non versori) formato da 3 vettori, partendo da un solo vettore $vec v_1 = (1, 1, -1)$.
Non so farlo, perchè non avendo una norma pari a $1$, nell'uguaglianza $cos theta = 0$, mi ritrovo con un incognita anche al denominatore:
$cos theta = 0$
.. ovvero:
$(1a + 1b - 1c)/(sqrt(3) * ||vec v_2||)$
Almeno che non risulta un versore con $c=2a$ e con $a = b$. Tipo $vec v_2 = (a, a, 2a)$ per ogni $a in RR$.
Non so farlo, perchè non avendo una norma pari a $1$, nell'uguaglianza $cos theta = 0$, mi ritrovo con un incognita anche al denominatore:
$cos theta = 0$
.. ovvero:
$(1a + 1b - 1c)/(sqrt(3) * ||vec v_2||)$
Almeno che non risulta un versore con $c=2a$ e con $a = b$. Tipo $vec v_2 = (a, a, 2a)$ per ogni $a in RR$.
Ho avuto un'idea, ma vorrei prima chiedervi cosa ne pensate. Invece di lavorare con il coseno, potrei considerare il prodotto scalare standard, ovvero la somma dei prodotti delle componenti. Posso farlo in un sistema di riferimento in quanto contenente una base ortonormale, posso farlo in $RR^n$. In pratica..
$vec v_1 * vec v_2 = 0$
$1a + 1b - 1c = 0$
Una volta trovati i valori in quanto sistema lineare a 3 equazioni, trovo una soluzione particolare e la eguaglio:
$vec v_1 * vec v_2 = vec v_1 * vec v_3$
E trovo i valori di $vec v_3$. Li ho eguagliati perchè sono due prodotti che danno lo stesso risultato.
$vec v_1 * vec v_2 = 0$
$1a + 1b - 1c = 0$
Una volta trovati i valori in quanto sistema lineare a 3 equazioni, trovo una soluzione particolare e la eguaglio:
$vec v_1 * vec v_2 = vec v_1 * vec v_3$
E trovo i valori di $vec v_3$. Li ho eguagliati perchè sono due prodotti che danno lo stesso risultato.
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